Números Complejos

Hasta ahora hemos trabajado con distintos conjuntos numéricos, a saber:

Números naturales:  

Números enteros: 

Números racionales: 

Números Irracionales:

Los números irracionales son aquellos que no pueden expresarse como una fracción exacta de dos números enteros (es decir, a/b, donde a y b son enteros y b no es cero). Su representación decimal es infinita y no periódica.

Ejemplos: 

Siendo ℝ, el conjunto de los números reales.

En los siglos XV y XVI, al resolver ecuaciones como x² + 1 = 0  donde x² = -1, en el conjunto de los números reales no es posible encontrar una solución para dicha ecuación. Surge así el problema de la igualdad

Aunque la primera referencia conocida de raíces cuadradas de números negativos proviene de los matemáticos griegos, no es hasta el siglo XVI cuando Girolamo Cardano propone estos números. Posteriormente Descartes en 1637 les puso el nombre de imaginarios. Sin embargo, Leonhard Euler fue quien popularizó la letra i para designar la unidad imaginaria i² = -1 en 1777. La aceptación del concepto de número imaginario finalmente llegó gracias a los estudios del matemático Carl Friedrich Gauss. 

El conjunto de números que obtenemos al agregar 𝑖 y sus combinaciones al conjunto de los números Reales es el conjunto de los números Complejos que trataremos a continuación.

Números Complejos

Llamamos número complejo a un número de la forma z = a + bi donde a y b son números reales, y además i está definido por la relación i² = -1. Escribimos el conjunto de los números complejos como:

Características de los números complejos

1.   Como ya hemos dicho todo número complejo se expresa como a + bi, donde a y b son números reales. A esta forma se la denomina Forma binómica del complejo z.

2.   La parte Real se designa como  y la parte imaginaria como Im(z). Por ejemplo, en el complejo 5 + 2i, la parte real es 5 y la parte imaginaria como 2i.

3.  Unidad imaginaria: La (i) es la unidad imaginaria, definida como la raíz cuadrada de . Esto significa que i² = -1.

4.  Todo número real 𝑎 es un número complejo ya que puede expresarse como 𝑎 + 0𝑖. Así los números reales se identifican con una parte de los números complejos: 𝑎 = 𝑎 + 0𝑖.

5.   Todo número de la forma 𝑏𝑖, llamado imaginario puro, es un número complejo de parte real nula, y puede expresarse como 0 + 𝑏𝑖.

Ejemplos:

1.       Sea el número complejo z = 5 + i.

Para este valor de z 5 es la parte real de z. Re(z) = 5 y

1 es la parte imaginaria de z. Im(z) = 1.

2. Sea el número complejo z = 0,5 + 2i.

Entonces 0,5 es la parte real de z. Re(z)=0,5 y

2 es la parte imaginaria de z. Im(z)=2.