Perímetro y áreas de regiones circulares

Circunferencia y círculo

Iniciemos estableciendo que círculo y circunferencia no son lo mismo. La circunferencia es un conjunto de puntos equidistantes de un punto llamado centro. El círculo, comprende la región delimitada por la circunferencia, es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es igual o menor que el radio.

 

Perímetro del círculo. Éste corresponde a la longitud de la circunferencia y está definida como el producto del diámetro por el valor del número irracional π.

\[\begin{align*} P = & \pi d =\pi 2r \\ P = & 2 \pi r = \pi d \end{align*}\]

Área del círculo. Corresponde a la superficie limitada por la circunferencia y está definida de la siguiente manera.

\[A = \pi r^{2}\]

Ejemplo: El área de un círculo es de 35 cm². ¿Cuál es la longitud de su perímetro?

Solución:

\[\begin{align*} A = & \pi r^{2} \\ 35 = & 3,1415 \cdot r^{2} \\ r^{2} = & \frac{35}{3,1415} \\ r^{2}= & 11,1411746 \\ r = & \sqrt{11,1411746} \\ r = & 3,3378 \end{align*}\]

Luego

\[\begin{align*} P = & 2 \pi r \\ P = & 2 \pi \cdot 3,3378 \\ P = & 2 \cdot 3,1415 \cdot 3,3378 \\ P = & 20,9714 cm \end{align*}\]

R.\ La longitud del perímetro es 20,9714 cm.

 

Ejemplo: Una pizza de 25 cm de diámetro se corta en 12 trozos iguales. ¿Cuál es el área de cada pedazo?

Solución: 

El área total de la pizza es

\[\begin{align*} A = & \pi r^{2} \\ A = & \pi \cdot \left ( \frac{25}{2}\right )^{2} \\ A = & 3,1415 \cdot \frac{625}{4} \\ A = & 490,86 cm^{2} \end{align*}\]

El área de cada trozo es:

\[\begin{align*} A = & \frac{A_{T}}{12} \\ A = & \frac{490,86}{12} \\ A = & 40,90 cm^{2} \end{align*}\]

R.\ El área de cada trozo es 40,90 cm2

 

Sector y segmento circular

Perímetro de un sector circular. El perímetro de un sector circular es la suma de la longitud de los radios y el arco que subtiendes éstos.

 

Área de un sector circular. Un sector circular es un ángulo central de n grados.  Su área es proporcional al área del círculo multiplicada por la fracción correspondiente al ángulo central.

 

Perímetro

\[P = a + 2r\]

Área

\[A = \frac{\pi \cdot r^{2} \cdot \alpha}{360}=\frac{ar}{2}\]

Donde:

r = Radio, n = Grados sexagesimales

a = Longitud de arco 

\[a = \frac{\pi \cdot \alpha \cdot r}{180}\]

Perímetro de un segmento circular. Corresponde a la suma de la cuerda y el arco que subtienden los radios.

 

Área de un segmento circular. Es la diferencia del sector circular, menos el área del triángulo que forman los radios y la cuerda que subtienden.

Perímetro

\[P = a + c\]

Área

\[\begin{align*} A = & \frac{\alpha \cdot \pi \cdot r^{2}}{360}-\frac{c \cdot h}{2} \\ o \\ A = & \frac{\alpha \cdot \pi \cdot r^{2}}{360}-\frac{r^{2}\cdot sen \alpha}{2} \end{align*}\]

Donde:

                r = Radio, α = Grados sexagesimales

                c = Longitud de cuerda

                h = Altura del triángulo

\[a = \frac{\pi \cdot \alpha \cdot r}{180}\]

Ejemplos:

1.     El área de un círculo es 100 π cm2; Calcular el área del sector circular subtendido por el radio sabiendo que el ángulo central es de 60°.

Solución:

 

Sabemos que el área del círculo es 100 π cm2, entonces

\[\begin{align*} A = & \pi r^{2} \\ 100 \pi = & \pi r^{2} \\ 100 = & r^{2} \\ r = & \sqrt{100} \\ r = 10 cm \end{align*}\]

Luego calculamos el área del sector circular

\[\begin{align*} A = & \frac{\pi r^{2} \alpha}{360} \\ A = & \frac{\pi\cdot 10^{2}\cdot 60}{360} \\ A = & \frac{50\pi}{3} \approx 52,3583\ cm^{2} \end{align*}\]

R.\ El área del sector circular es 52,3583 cm2

2. Calcular el área de un segmento circular si la cuerda mide 6 cm y los radios que subtienden ese arco y esa cuerda miden 6 cm.

Solución:

De acuerdo con la figura se forma un triángulo equilátero cuyos lados miden 6 cm. Para calcular la altura aplicamos el teorema de Pitágoras.

La hipotenusa mide 6 cm y el cateto conocido mide 3 cm (mitad de la base del triángulo isósceles).

\[\begin{align*} r^{2} = & h^{2} + c^{2}\\ 6^{2} = & h^{2} + 3^{2} \\ 36 = & h^{2} + 9 \\ 36-9 = &h^{2} \\ h^{2} = &27 \\ h = & \sqrt{27} \\ h = &3 \sqrt{3} cm \end{align*}\]

El triángulo es equilátero por lo que cada uno de sus ángulos internos mide 60°, luego el área del segmento circular es:

\[\begin{align*} A = & \frac{\alpha \cdot \pi \cdot r^{2}}{360}-\frac{c \cdot h}{2} \\ A = & \frac{60 \cdot \pi \cdot 6^{2}}{360}-\frac{6 \cdot 3 \sqrt{3}}{2} \\ A = & \frac{60 \cdot 36 \cdot \pi}{360}-\frac{18 \sqrt{3}}{2} \\ A = & {6\pi}- 9 \sqrt{3}\ cm^{2}\\ \end{align*}\]

R.\ El área del segmento circular es igual a

 

Ejercicios:

1.       En cada caso determinar el área del sector circular:

a.       r = 10 cm, medida del ángulo central = 45°

b.       r = 8 cm, medida del ángulo central = 60°

c.        d = 12 cm, medida del ángulo central = 75°

d.       d = 18 cm, medida del ángulo central = 120°

2.       En cada caso determinar el área del segmento circular:

a.       r = 4 cm, medida del ángulo central = 90°

b.       r = 14 cm, medida del ángulo central = 45°

c.        r = 4 cm, medida del ángulo central = 60°

d.       r = 6 cm, medida de la cuerda subtendida = 6 cm