La distribución normal ocupa un lugar prominente en estadística. Esta, tiene algunas propiedades que la hacen aplicable a un gran número de casos en los que es necesario hacer inferencias mediante procesos muestrales. Luego, la distribución normal tiene una estrecha relación con las distribuciones de frecuencias reales observadas en muchos fenómenos naturales, incluyendo características humanas, resultados de procesos físicos, y muchas otras de interés tanto en administración pública, como privada. La curva producida por la distribución normal tiene un solo pico; por tanto, es unimodal. Tiene forma de campana.

\[f(x)= \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi }}e^{-(x-\mu )^2/(2\sigma^2 )};\: \: -\infty<x<\infty\]

Esta distribución se caracteriza por:

• Es generada por una variable de tipo continuo, denominada x;
• Es simétrica con respecto a su eje vertical.
• Es asintótica con respecto a su eje horizontal; esto quiere decir que jamás va a tocar el eje de las equis.
• El área total bajo la curva es 1. ½ a la izquierda y ½ a la derecha de  la media.
• Sí sumamos a  µ ± s, se observará que aproximadamente el 68.26% de los  datos se encuentran bajo la curva,  si sumamos a µ ± 2s, el 95.44% de los datos estará entre esos límites y si sumamos a µ ± 3s, entonces el 99.74% de los datos caerá dentro de esos límites. Esta característica es a la vez una forma empírica y rápida de demostrar si los datos que se analizan tienen una distribución Normal; ya que para trabajar los datos con esta distribución, debe verificarse que efectivamente así se distribuyen, ya que de no hacerlo, las decisiones que en un momento dado se tomarán de un análisis de los datos con la distribución Normal, serían erróneas.

¿Cómo se determinan probabilidades con la distribución Normal?

Lo que se hace es tipificar el valor de la variable x, esto es, x se transforma en un valor de z, de la siguiente manera:

\[z=\frac{x-\mu }{\sigma }\]

Este valor de z es buscado en una tabla donde vienen áreas asociadas a este valor, y haciendo uso de los valores tabulados, se determina la probabilidad requerida. La tabla que es usada para calcular las probabilidades es la que nos da el área que se muestra a continuación:

Ejemplos:

1. El metal utilizado en algunas tuberías de agua se recubre internamente con un mortero de cemento para evitar la corrosión. En un estudio de los recubrimientos de mortero de una tubería empleada en un proyecto de transmisión de agua, se especificó un espesor de 7/16 pulgadas para el mortero. Un gran número de mediciones de espesor dieron una media de 0.635 pulgadas y  una desviación estándar de 0.082 pulgadas. Sí las mediciones de espesor, tenían una distribución Normal, ¿qué porcentaje aproximado fue inferior a 7/16 de pulgada?

Solución:

Datos:  x = variable que nos define el espesor del mortero = 7/16

     µ = 0,635 pulgadas (media)

     σ = 0,082 pulgadas (desviación estándar)

\[P(x<7/16)=P(\frac{x-\mu}{\sigma})<\frac{7/16-0,635}{0,082}\]

Por lo tanto, existe una probabilidad de 0,008 x 100 = 0,8% de que los recubrimientos de mortero tienen un espesor menor de 7/16 pulgadas de mortero.

2. Estudios realizados muestran que el uso de gasolina en autos compactos vendidos en un país está normalmente distribuido, con una media de 41 km/galón (Km-g) y una desviación estándar de 7.2 Km-g. ¿Qué porcentaje de autos recorre 48 Km-g o más?

Solución:

Datos:  x = variable que nos define el consumo de gasolina en km-h

            µ = 41 Km-h (media)

            σ = 7,2 Km-h (desviación estándar)

\[z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{48-41}{7,2}=0,9722\]

El área a la izquierda de z = 0,9722 es de 0,83398. Por lo tanto tenemos que:

\[P(x\geqslant 48)=1-0,83398=0,1660\\ \therefore 100(0,1660)=16,60%\]

Por lo tanto el porcentaje de autos que recorre 48 o más km por galón es el 16,60%.

3. Una empresa de telecomunicaciones ha determinado, que la transmisión de datos promedio es de 175 segundos con una desviación estándar de 25 segundos y una distribución normal definida. Con el fin de analizar la demanda de servicios y maximizar la oferta de los mismos se desea obtener el estimado probable de que los tiempos de comunicación oscilen:

a) Entre 125 y 175 segundos.

b) Menos de 135 segundos

c) Entre 140 y 180 segundos

d) Más de 180 segundos

Utilizar Geogebra para verificar los resultados

Solución:

Datos:  x = variable que nos define el tiempo de conexión

            µ = 175 seg. (media)

            σ = 20 seg. (desviación estándar)

a) Área en e intervalo comprendido entre 125 y 175 segundos

Utilizando Geogebra, en el menú seleccionar Vista - Cálculo de probabilidad

\[z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{125-175}{25}=\frac{-50}{25}=-2\]

Para un valor z = -2, el área en la cola izquierda es 0,02275, por lo que la probabilidad de que la transmisión esté entre 125 y 175 segundos es del 47,72%.

b) Menos de 135 segundos.

\[z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{135-175}{25}=\frac{-40}{25}=-1,6\]

Para un valor z = -1,6, el área en la cola izquierda es 0,0548, por lo que la probabilidad de que la transmisión sea menor a 135 segundos es del 5,48%.

c) Entre 140 y 180 segundos.

\[z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{140-175}{25}=\frac{-35}{25}=-1,4\\ z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{180-175}{25}=\frac{5}{25}=0,2\]

Luego el área de la cola izquierda para z=-1,4 es 0,08076 y para z=0,2 es 0,5793.  Por lo tanto si restamos 0,5793-0,08076 obtenemos que el área resultante es 0,4985 que representa una probabilidad de ocurrencia del 49,50%.

d) Más de 180 segundos.

\[z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{180-175}{25}=\frac{5}{25}=0,2\]

Luego el área de la cola izquierda para z=0,2 es 0,5793.  Por lo tanto si restamos 1-0,5793 obtenemos que el área resultante es 0,4207 que representa una probabilidad de ocurrencia del 42,07%.