Conjunto producto y particiones

CONJUNTO PRODUCTO

Un par ordenado (a, b) es un listado de los objetos a y b en un orden prescrito, donde aparece en primer término y b, en segundo. En consecuencia, un par ordenado simplemente es una secuencia de longitud 2. A partir del análisis anterior de las secuencias, se desprende que los pares ordenados (a₁, b₁) y (a₂, b₂) son iguales sí y solamente sí a₁ = a₂ y b₁ = b₂.

Si A y B son dos conjuntos no vacíos, se define el conjunto producto o producto cartesiano A x B como el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) con a que pertenece a A y b que pertenece a B. Así,

Ejemplo 1.

Sean A = {1, 2, 3} y B = {a, b}

Entonces

A x B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}

Observe que los elementos de A x B pueden ser dispuestos en forma tabular conveniente como se muestra a continuación.

Ejemplo 2.

Si A y B son como en el ejemplo 1, entonces

B x A = {(a, 1), (b, 1), (a, 2), (b, 2), (a, 3), (b, 3)}

De los ejemplos anteriores se ve que A x B no siempre es igual a B x A

Ejemplo 3.

Una compañía de aseguradora clasifica a sus potenciales clientes de acuerdo con los siguientes criterios:

Género: masculino (m); femenino (f)

Máximo nivel educativo: técnico (t); trabajador especializado (e); profesional (p); investigador (i)

Sean G = {m, f} y E = {t, e, p, i}.

Entonces G x E contendrá todas las categorías de personas en que se clasifica la población para ese mercado. Determinar G x E.

G x E = {(m,t), (f,t), (m,e), (f,e), (m,p), (f,p), (m,i), (f,i)}

Ejemplo 4.

Una compañía de programación proporciona las tres características siguientes para cada programa que se vende:

Lenguaje: C++ (p), C# (s), .NET (n)

Memoria: 4 Gb (4), 8 Gb (8), 16 GB (16)

Sistema Operativo: Linux (l), Windows (w)

Luego L = {p, s, n}, M = {4, 8, 16}, S = {l, w}

El producto L x M x S contiene todas las categorías que describen un programa en esa compañía y hay 3 x 3 x 2 o sea 18 categorías en este esquema de clasificación.

Determinar L x M x S

LxMxS={(p,4,l), (p,4,w), (p,8,l), (p,8,w), (p,16,l), (p,16,w), (s,4,l), (s,4,w), (s,8,l), (s,8,w), (s,16,l), (s,16,w), (n,4,l), (n,4,w), (n,8,l), (n,8,w), (n,16,l), (n,16,w)}

Particiones

Una partición o conjunto cociente de un conjunto no vacío P es una colección de subconjuntos no vacíos de P tales que:

1. Cada elemento de P pertenece a uno de los conjuntos en Pi.

2. Si P₁ y P₂ son elementos distintos de P, entonces $P_1\cap P_2=\emptyset $

Los conjuntos que hay en P se llaman bloques o celdas de la partición. La siguiente figura muestra una Partición

P = {P₁, P₂, P₃, P₄, P₅, P₆, P₇}

Consideremos los siguientes subconjuntos de A:

A₁= {a, b, c, d}, A₂= {a, c, e, f, g, h}, A₃= {a, c, e, g}, A₄= {b, d}, A₅= {f, h}

{A₁, A₂} no es una partición ya que $A_1\cap A_2\ne \emptyset $. Luego {A₁, A₅} es una partición de A en vista de que no tienen elementos comunes.

¿Qué sucede con la colección {A₃, A₄, A₅}.

Ejemplo:

Sean:

Z = conjunto de todos los enteros,

A₁= conjunto de todos los enteros pares, y

A₂= conjunto de todos los enteros impares.

Entonces {A₁, A₂} es una partición de Z.

EJERCICIOS:

1. En cada parte, encuentre x o y de manera que el enunciado sea verdadero.

a. (x+2, 3) = (4, 3)

b. (1, 3y) = (x, 9)

c. (3x+1, 2) = (10, 2)

d. (c++, java)=(x, y)

2. En cada parte, encuentre x o y de manera que el enunciado sea verdadero.

a. (4x, 5) = (16, y)

b. (3x – 3, 3y – 1) = (5, 5)

c. (x , 25) = (49,y)

3. Sean A = {a, b, c} y B = {3, 5, 7}. Haga una lista de los elementos en:

a. A x B

b. B x A

c. A x A

d. B x B

4. Sean A = {Salas, Pérez} y B = {presidente, vicepresidente, secretario, tesorero}. Dé cada uno de los tres casos siguientes:

1. A x B

2. B x A

3. A x A

5. Un fabricante de automóviles hace tipos diferentes de chasis (o armazón del auto) y tres tipos de motores:

Tipo de armazón: sedán (s), coupé (c), vagón (v)

Tipo de motor: gasolina (g), diesel (d), híbrido (h)

Elabore una lista de todos los modelos posibles de autos.

6. Si A = {a, b, c}, B = {1, 2}, y C = {#, *}, escriba el conjunto A x B x C

7. Si A = {a/a es un número entero positivo} y B = {1, 2, 3}. Haga un esquema de cada uno de los siguientes casos en el plano cartesiano.

a. A x B

b. B x A

8. Si A = {a / a es un número racional y -1 a 5} y B = {b / b es un racional y 1 b 5}, haga un esquema de los siguientes casos en el plano cartesiano.

a. A x B

b. B x A

9. Sean A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} y

A₁ = {1, 2, 3, 4} A₂={5, 6, 7} A₃={4, 5, 7, 9}

A₄ = {4, 8, 10} A₅={8, 9, 10} A₆={1, 2, 3, 6, 8, 10}

¿Cuáles de las siguientes son particiones de A?

a. {A₁ , A₂, A₅}

b. {A₁, A₃ , A₅}

c. {A₃, A₆}

d. {A₂, A₃ , A₄ }

10. Si P₁ es el conjunto de los enteros positivos y P₂ el conjunto de todos los enteros negativos, ¿es {P₁, P₂ } una partición de .

11. Si B = {0, 3, 6, 9, ….} escriba una partición de B que contenga:

a. Dos subconjuntos infinitos

b. Tres subconjuntos infinitos