Sistema de ecuaciones lineales

Estudiaremos sistemas de ecuaciones de la forma:

Donde los valores a y b son constantes y toda x es incógnita. Se dice que el sistema tiene n ecuaciones con n incógnitas o simplemente que es de orden n x n.

En la notación anterior cada subíndice i se refiere al renglón, y j se refiere a la columna donde está ubicado el elemento correspondiente.

El sistema de ecuaciones lineales se puede escribir en forma matricial si definimos:

i) La matriz de coeficientes:

ii)                    La matriz de incógnitas

iii)                    La matriz de términos independientes o resultados

Entonces, el sistema es equivalente a la ecuación matricial

donde el producto indicado es el producto de matrices.

Para una matriz A se definen tres operaciones elementales por renglones ( o columnas ); nos remitiremos a las operaciones por renglones. Cuando se efectúan las operaciones elementales se obtiene una matriz equivalente, y se utiliza el símbolo de equivalencia.

I.- intercambiar dos renglones

Ejemplo: Si intercambiamos el renglón 1 y 3:

II.- multiplicar un renglón por una constante distinta de cero

Ejemplo: Si multiplicamos el renglón 3 por 2:

III.- Sumar un renglón a otro renglón

Ejemplo: Si sumamos el renglón 3 al renglón 2

Las operaciones II y III se combinan para sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.

Ejemplo:

(i) Comenzamos con la matriz:

(ii) Multiplicamos el renglón 1 por 2

(iii) Sumamos el renglón 1 al renglón 2

Finalmente, las operaciones elementales se utilizan para “hacer ceros” debajo de algún elemento cualquiera.

Ejemplo: Hacer ceros debajo del elemento a11

Solución. Vemos que, para lograr el objetivo, podemos multiplicar el renglón 1 por 2 , y sumarlo al renglón 2. También podemos multiplicar el mismo renglón 1 por –3, y sumárselo al renglón 3.

El objetivo final es transformar una matriz A en una matriz escalonada.

DEFINICIÓN. Una matriz se llama escalonada si el primer elemento no cero en cada renglón está más a la derecha que el del renglón anterior.

Ejemplos:

1) La matriz A dada a continuación es una matriz escalonada

2) La matriz

No es escalonada

Obviamente el escalonamiento de una matriz se logra “haciendo ceros” debajo de los elementos adecuados.

Ejemplos: Usando operaciones elementales, escalonar las siguientes matrices.

Solución:

2) Escalonar la siguiente matriz

Solución:

Tenemos ahora todas las herramientas para estudiar nuestros dos primeros métodos numéricos de solución a sistemas de ecuaciones lineales.