Operaciones con conjuntos


UNIÓN DE CONJUNTOS

Se llama UNIÓN de dos conjuntos A y B al conjunto formado por los elementos de A o de B, es decir:

 

Ejemplo:

Sean A = {a, b, c, d, e, f} y B={b, d, r, s}

 

Entonces $A\cup B$ está formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B.

Luego,

INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS

Se llama INTERSECCIÓN de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A y de B, es decir: 

En la imagen la intersección es la parte obscura de la misma.

 

Ejemplo:

Sean A = {a, b, c, e, f}, B = {b, e, f, r, s} y

C = {a, t, u, v}.

 

Encuentre:

 

$A\cap B, A\cap C\,\,y\,\,C\cap B$

 

Como la intersección está formada por los elementos comunes de ambos conjuntos, se tiene que:

 

Cuando dos conjuntos no tienen elementos en común como B y C en el ejemplo anterior, se denominan Conjuntos disjuntos.

 

DIFERENCIA DE CONJUNTOS

Dados dos conjuntos A y B, se llama DIFERENCIA al conjunto:

Luego A-B se llama complemento de B con respecto a A.

En el diagrama de Venn A-B está representado por la zona rayada.

 

Ejemplo:

Sean A = {a, b, c} y B = {b, c, d, e}. Entonces:

A – B = {a} y B – A = {d, e}.

 

Asimismo, se llama DIFERENCIA SIMÉTRICA entre A y B al conjunto

En el diagrama de Venn la diferencia simétrica está representada por las regiones menos oscuras. (Lo que no tienen en común).

 

Ejemplo:

Sean A = {a, b, c, d} y B = {a, c, e, f, g}.

Entonces $A\bigtriangleup B=\left\{ b, d, e, f, g \right\} $

 

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO

Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A ' formado por todos los elementos de U, pero no de A, se llama complemento de A con respecto a U. Simbólicamente se expresa: 

Ejemplos:

a) Sean U = {m, a, r, t, e } y A = {a, e }

Su complemento de A es: A' = {m, t, r}

 

b) Sean U = {letras de la palabra aritmética} y A = { e, i, a } 

 

Determinado por extensión tenemos

U = {a, r, i, t, m, e, c} A = { e, i, a }

Su complemento es: A' = {r, t, m, c}

 

En forma gráfica:

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BOOLEANAS

Las llamadas OPERACIONES BOOLEANAS (unión e intersección) verifican las siguientes propiedades:

Estas propiedades hacen que partes de U con las operaciones unión e intersección tenga una estructura de álgebra de Boole.

 

Además de éstas, se verifican también las siguientes propiedades:

PROBLEMAS CON OPERACIONES CON CONJUNTOS

Mediante diagramas de Venn y las definiciones y aplicación de las distintas operaciones con conjuntos se pueden resolver problemas, que nos preparan en el campo de la lógica formal.

 

Ejemplo:

A una fiesta llegaron 150 personas, de las cuales 75 cantan, 85 bailan, 20 no cantan ni bailan. ¿Cuántas personas cantan y bailan?

 

Solución: La pregunta lleva implícita una conectiva lógica y, que es parte importante de la definición formal de la operación intersección. Por lo tanto, podemos representar el problema de la siguiente manera: 

Ejercicios:

 

4. En una encuesta realizada a 150 personas sobre sus preferencias de tres productos  A, B y C, se encontró el siguiente resultado:

a. 82 consumen el producto A

b. 54 consumen el producto B

c. 50 sólo consumen el producto A

d. 30 sólo consumen el producto B

e. El número de personas que consumen sólo B y C es la mitad de las personas que consumen sólo A y C

f. El número de personas que consumen sólo A y B es el triple de las personas que  consumen los tres productos

g. El número de personas que no consumen los productos mencionados son tantos  como los que consumen sólo C

Determinar

a. El número de personas que consumen sólo dos de los productos

b. El número de personas que no consumen A, B ni C

c. El número de personas que por lo menos consumen uno de los productos