Hasta ahora sólo hemos estudiado la derivada de una función en un punto y el resultado es un número real por tratarse de un límite.

El proceso de hallar la derivada de una función se llama derivación. Una función es derivable en x si su derivada en x existe, y derivable en un intervalo abierto (a, b) si es derivable en todos y cada uno de los puntos de ese intervalo.

Además de f ’(x) que se lee “f prima de x”, se usan otras notaciones para la derivada de y = f(x). Las más comunes son:

Definición

La derivada de una función f es otra función f ’ definida como

En todos los puntos x donde el límite exista. Si existe f ’(x), se dice que f es derivable en x.

Teorema

Si f es derivable en x = c, entonces f es continua en x = c.

Se omite su demostración.

Los siguientes enunciados expresan la relación que hay entre los conceptos de continuidad y derivabilidad.

a)      Si una función es derivable en x = c, entonces es continua en x = c.

b)      No toda función continua en x = c, es derivable en x = c.

Reglas de derivación

El proceso de encontrar la derivada de una función a partir de la definición de la derivada, desarrollada antes, estableciendo el cociente de diferencias y evaluando su límite, puede ser tedioso y requerir de mucho tiempo. Con el fin de que nos permitan acortar ese largo proceso, vamos a desarrollar reglas de derivación que se sustentan en la definición general. Aplicando la misma definición a algunas funciones elementales obtenemos también fórmulas de derivación para ellas.

Teorema 1. Regla de la constante

La derivada de una función constante es 0. Es decir, si k es un número real cualquiera, entonces:

Demostración:

Teorema 2. Regla de la función identidad

La derivada de la función identidad es 1; es decir:

Demostración:

Teorema 3. Regla de la potencia

Si f(x) = xⁿ, con n número racional, se tiene que f ’(x) = nx^n-1; esto es:

Para que f sea derivable en x = 0, n debe ser un número tal que x^n-1 se encuentre definido en el intervalo que contiene a 0.

Demostración:

Ejemplos:

Teorema 4. Regla del múltiplo constante

Si k es una constante y f una función derivable, entonces (kf)’(x) = kf ‘(x), esto es:

Demostración:

Ejemplos:

Teorema 5. Regla para la suma o la diferencia

Si f y g son funciones derivables, entonces (f ± g)’(x)=f ‘(x) ± g ‘(x); esto es:

Demostración:

Ejemplos:

Teorema 6. Regla del producto

Si f y g son funciones derivables, entonces

En palabras se expresa como sigue: La derivada de un producto de dos funciones es igual a la primera por la derivada de la segunda, más la segunda por la derivada de la primera.

Demostración:

Sea F(x) = f(x)g(x)

Entonces

Ejemplos:

Teorema 7. Regla del cociente

Si f y g son funciones derivables con g(x) ≠ 0, entonces

En palabras como sigue: la derivada de un cociente es igual al denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador, todo dividido entre el cuadrado del denominador.

Demostración:

Sea F(x) = f(x)/g(x)

Entonces

Ejemplos:

Teorema 7. Regla de la cadena

Si f(u) es derivable en u = g(x) y g(x) es derivable en x, entonces la función compuesta (f o g)(x)=f(g(x)) es derivable en x y:

Ejemplos:

Calcule la derivada de las siguientes funciones compuestas

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Derivar las siguientes funciones