Matriz adjunta

Matriz adjunta es la que obtenemos de sustituir cada elemento de la matriz por su adjunto.

Ejemplo:

Simplificar el cálculo de determinantes

Para calcular determinantes mayores a 3 x 3, deben recordar que el determinante es el valor asociado a una matriz, por lo que antes de calcularlo podemos intentar hacer transformaciones elementales en esa matriz de manera que se reduzca a la mínima dimensión, pero sobre todo tratar de hacer una fila o columna con la mayor cantidad de ceros, para tomar como menor complementario a 0, de esa manera nos eliminamos las multiplicaciones, ya que cualquier valor multiplicado por cero da cero.

 

Ejemplo:

En el ejemplo de la matriz 5 x 5 se le transformó las filas 3 y 5 filas para que la columna 3 quedara con 4 ceros y un 1, de esa manera solo se multiplica el menor complementario de 1, que da negativo ya que se encuentra en la fila 2 y columna 3. Luego a la matriz resultante se le transforma la 1 fila y 4 fila para obtener en la columna 3 tres ceros y un uno, por lo que se aplica el menor complementario de 1, que es positivo quedando un determinante 3 x 3.

 

Cuando las transformaciones que realizan son de ese tipo NO altera el resultado del determinante, el cuidado que deben tener es si permutan, ya que al cambiar de posición estarán alterando los signos del determinante.

 

Las propiedades más importantes de los determinantes son:

  1. El determinante de una matriz cuadrada es igual al determinante de su matriz traspuesta.
  2. Si los elementos de una línea o columna de una matriz se multiplican por un número, el determinante de la matriz queda multiplicado por dicho número.
  3. Si todas las filas de una matriz de orden n están multiplicadas por un mismo número t el determinante de la matriz queda multiplicado por tn.
  4. El determinante del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de los determinantes de ambas matrices.
  5. Si en una matriz cuadrada se permutan dos filas, su determinante cambia de signo.
  6. Si una línea de una matriz cuadrada es combinación lineal de las filas restantes, es decir, es el resultado de sumar los elementos de otras filas multiplicadas por números reales, su determinante es cero.
  7. Consecuencia inmediata de esta propiedad es que si una matriz tiene una línea de ceros su determinante es cero.
  8. Si a los elementos de una línea de una matriz cuadrada se les suma una combinación lineal de las filas restantes, su determinante no varía.