En los ejemplos anteriores los límites calculados corresponden a funciones continuas y por lo tanto permiten calcularse por sustitución directa. Pero que sucede si tenemos funciones que coinciden en todo excepto en un punto.

Sea b un número real y f(x) = g(x) para todo x ≠ b en un intervalo abierto que contiene a b. Si existe el límite de g(x) cuando x se aproxima a b, entonces también el límite de f(x) y

Ejemplo:

No podemos aplicar la ley del cociente, ya que (x – 1) se hace cero cuando x tiende a 1. Factorizando la expresión algebraica y cancelando factores, se puede escribir f como:

Una estrategia para el cálculo de límites

Si el límite de f(x) cuando x se aproxima a b no se puede evaluar por sustitución directa, tenemos que tratar de encontrar una función g que coincida con f para todo x distinto de b. Seleccionar una g tal que el límite de g(x) se pueda evaluar por medio de la sustitución directa.

Ejemplos:

Solución:

Siendo una función racional, no se puede obtener su límite por sustitución directa puesto que el límite del denominador es igual a cero. Buscamos entonces una posible factorización en el numerador que nos permita mediante cancelación de factores encontrar esta solución.

Solución:

Siendo una función racional, no se puede obtener su límite por sustitución directa puesto que el límite del denominador es igual a cero. En este caso debemos racionalizar el numerador antes de poder simplificar la expresión racional.

Verifica tu aprendizaje

Calcular los siguientes límites algebraicos