Reglas de inferencia
Los argumentos basados en tautologías representan métodos de razonamiento universalmente correctos. Su validez depende solamente de la forma de las proposiciones que intervienen y no de los valores de verdad de las variables que contienen. A esos argumentos se les llama reglas de inferencia. Las reglas de inferencia permiten relacionar dos o más tautologías o hipótesis en una demostración. En una demostración no solamente hay tautologías e hipótesis, también existen reglas de inferencia que permiten obtener nuevas líneas válidas, a continuación, se cita una lista de las principales reglas de inferencia que se pueden aplicar en una demostración.
MODUS PONENDO PONENS (PP)
El condicional o implicación es aquella operación que establece entre dos enunciados una relación de causa-efecto. La regla ‘ponendo ponens ’ significa, “afirmando afirmo ” y en un condicional establece, que si el antecedente (primer término, en este caso p) se afirma, necesariamente se afirma el consecuente (segundo término, en este caso q).
MODUS TOLLENDO TOLLENS (TT)
‘Tollendo tollens’ significa “negando, niego”, y se refiere a una propiedad inversa de los condicionales, a los que nos referíamos en primer lugar.
Si de un condicional, aparece como premisa el consecuente negado (el efecto), eso nos conduce a negar el antecedente (la causa), puesto que, si un efecto no se da, su causa no ha podido darse.
Esto nos permite formular una regla combinada de las ambas anteriores, consecuencia ambas de una misma propiedad de la implicación; la regla ponendo ponens sólo nos permite afirmar si está afirmado el antecedente (el primer término de la implicación), y la regla tollendo tollens sólo nos permite negar a partir del consecuente (segundo término de la implicación); ambas consecuencias se derivan de que la implicación es una flecha que apunta en un único sentido, lo que hace que sólo se pueda afirmar a partir del antecedente y negar sólo a partir del consecuente.
DOBLE NEGACIÓN (DN)
El esquema representa, “p doblemente negada equivale a p”. Siguiendo el esquema de una inferencia por pasos, la representaríamos así:
La regla ‘doble negación’, simplemente establece que, si un enunciado está doblemente negado, equivaldría al enunciado afirmado.
ADJUNCIÓN Y SIMPLIFICACIÓN
Adjunción (A): Si disponemos de dos enunciados afirmados como dos premisas separadas, mediante la adjunción, podemos unirlos en una sola premisa utilizando el operador (conjunción).
Simplificación (S): obviamente, es la operación inversa. Si disponemos de un enunciado formado por dos miembros unidos por una conjunción, podemos hacer de los dos miembros dos enunciados afirmados por separado.
MODUS TOLLENDO PONENS (TP)
La disyunción, que se simboliza con el operador , representa una elección entre dos enunciados. Ahora bien, en esa elección, forma parte de las posibilidades escoger ambos enunciados, es decir, la verdad de ambos enunciados no es incompatible, si bien, ambos no pueden ser falsos.
A partir de lo anterior, se deduce la siguiente regla, denominada tollendo ponens (negando afirmo): si uno de los miembros de una disyunción es negado, el otro miembro queda automáticamente afirmado, ya que uno de los términos de la elección ha sido descartado.
LEY DE LA ADICIÓN (LA)
Dado un enunciado cualquiera, es posible expresarlo como una elección (disyunción) acompañado por cualquier otro enunciado.
SILOGISMO HIPOTÉTICO (SH)
Dados dos implicaciones, de las cuales, el antecedente de la una sea el consecuente de la otra (el mismo enunciado), podemos construir una nueva implicación cuyo antecedente sea el de aquella implicación cuya consecuencia sea el antecedente de la otra implicación, y cuyo consecuente sea el de ésta última, cuyo antecedente era consecuencia del primero.
Expresado de otro modo, si una causa se sigue una consecuencia, y esta consecuencia es a su vez causa de una segunda consecuencia, se puede decir que esa primera causa es causa de esa segunda consecuencia, del mismo modo que, si una bola de billar roja golpea a otra bola blanca que a su vez golpea a una bola negra, la bola roja es causa del movimiento de la bola negra. Expresado en forma de inferencia lógica:
SILOGISMO DISYUNTIVO (DS)
Dadas tres premisas, dos de ellas implicaciones, y la tercera una disyunción cuyos miembros sean los antecedentes de los condicionales, podemos concluir en una nueva premisa en forma de disyunción, cuyos miembros serían los consecuentes de las dos implicaciones. Lógicamente, si planteamos una elección entre dos causas, podemos plantear una elección igualmente entre sus dos posibles efectos, que es el sentido de esta regla.
SIMPLIFICACIÓN DISYUNTIVA (SD)
Si disponemos de dos premisas que corresponden a dos implicaciones con el mismo consecuente, y sus antecedentes se corresponden con los dos miembros de una disyunción, podemos concluir con el consecuente de ambas implicaciones.
LEY CONMUTATIVA
Esta ley, no es válida para la implicación, pero sí para conjunción y para la disyunción. Una conjunción es afirmar que se dan dos cosas a la vez, de modo que el orden de sus elementos no cambia este hecho. Igualmente, una disyunción es presentar una elección entre dos cosas, sin importar en qué orden se presente esta elección. Así pues,
LEYES DE MORGAN (DM)
Esta ley permite transformar una disyunción en una conjunción, y viceversa, es decir, una conjunción en una disyunción. Cuando se pasa de una a otra, se cambian los valores de afirmación y negación de los términos de la disyunción/conjunción, así como de la propia operación en conjunto, como podemos observar aquí:
Ejemplos:
REGLA DEL MODUS PONENDO PONENS
Es una regla de inferencia que permite demostrar q a partir de $p\Longrightarrow q$ y p
PREMISA 1) Si Pedro está en el partido de Fútbol, entonces Pedro está en el estadio.
PREMISA 2) Pedro está en el partido de Fútbol.
CONCLUSIÓN: Pedro Está en el estadio.
Simbólicamente tenemos lo siguiente:
p: Pedro está en el partido de fútbol
q: Pedro está en el estadio
Entonces:
Esta regla permite pasar de dos premisas a la conclusión, se dice que la conclusión es una consecuencia lógica de las premisas, es decir siempre que las premisas son ciertas, la conclusión es también verdadera.
Cuando el MODUS PONENDO PONENS o cualquier otra regla se aplica para sacar una conclusión de dos o más proposiciones, el orden de las proposiciones es indiferente.
La abreviatura para esta regla es MP.
DOBLE NEGACIÓN.
Es una regla que permite pasar de una premisa única a la conclusión. Un ejemplo simple es el de una negación de la negación que se denomina << Doble negación >>.
Sea la proposición:
No ocurre que Ana no es un estudiante.
De donde se puede sacar la conclusión: Ana es estudiante.
La regla también actúa en sentido contrario. Por ejemplo: de la proposición se puede concluir la negación de su negación:
Juan toma el autobús para ir a la escuela.
No ocurre que Juan no toma el autobús para ir a la escuela
La abreviatura para esta regla es DN .
MODUS TOLLENDO TOLLENS
La regla de Inferencia que se aplica también a las proposiciones condicionales, pero en este caso, negando (tollendo) el consecuente, se puede negar (tollens) el antecedente de la condicional.
La deducción siguiente es un ejemplo del uso de esta regla:
PREMISA 1) Si tiene luz propia, entonces el astro es una estrella .
PREMISA 2) El astro no es una estrella.
CONCLUSIÓN: Por lo tanto, no tiene luz propia.
Simbolizando:
p : Tiene luz propia
q : El astro es una estrella.
Cuando se trata de proposiciones moleculares puede usarse el paréntesis para mayor claridad. La abreviatura para esta regla es TT .
Regla de ADJUNCION Y SIMPLIFICACIÓN
Se suponen dadas dos proposiciones como premisas. La primera es
Jorge es adulto
La segunda es:
María es adolescente.
Si ambas proposiciones son verdaderas, entonces se podrían juntar en una proposición molecular utilizando el término de enlace « y » y se tendría una proposición verdadera que se leería:
Jorge es adulto y María es adolescente.
La regla que permite pasar de las dos premisas a la conclusión se denomina regla de ADJUNCION. La abreviatura para esta regla es A.
De manera simbólica se puede ilustrar la regla así :
El orden de las premisas es indiferente.
REGLA DE SIMPLIFICACIÓN
Si se tiene una premisa que dice:
El cumpleaños de María es el lunes y el mío es el sábado.
De esta premisa se pueden concluir:
El cumpleaños de María es el lunes.
La otra conclusión:
El mío es el sábado.
Si la premisa es cierta, cada una de las conclusiones es también cierta.
Esta regla se abrevia por S.
En forma simbólica la regla de simplificación es: $p\land q$
De la premisa $p\land q$
Se concluye: p
O se concluye: q
En una demostración no solamente hay tautologías e hipótesis, también existen reglas de inferencia que permiten obtener nuevas líneas válidas, esta es la parte en donde la mayoría de alumnos tienen problemas y en donde no sabe que regla aplicar para resolver un determinado problema.
Nota: Una demostración formal en la lógica se fundamenta y desarrolla estrictamente utilizando únicamente las reglas de validez enunciadas en el numeral anterior). Con base en ellas puede de- mostrarse que las implicaciones implícitas en cada una de las reglas de inferencia son teoremas.
Como un objetivo práctico a lograr es abreviar los procesos demostrativos, se introducen las reglas de inferencia; éstas, conjuntamente con las reglas de validez permiten ampliar y facilitar la obtención de los resultados válidos en esta teoría.
EJERCICIOS
En cada uno de los problemas siguientes, tradúzcase a la forma simbólica y empleando las reglas de inferencia y de validez, establézcase para cada argumento si es o no válido.
- Si llueve, entonces iré al cine. Llueve. Luego, iré al cine.
- Si llueve, entonces iré al cine. No llueve. Luego, no iré al cine.
- Si me caigo de la bicicleta, me golpeo. Estoy golpeado; luego, me caí de la bicicleta.
- Si voy al colegio pasaré por la biblioteca. Si paso por la biblioteca consultaré el diccionario de sinónimos. Voy al colegio; luego, consulté el diccionario de sinónimos.
- Si los precios son bajos, entonces los salarios son bajos. Los precios son bajos o no hay control de precios. Si no hay control de precios, entonces hay inflación. No hay inflación; por tanto, los salarios son bajos.
- La lógica es fácil o les gusta a los estudiantes. Si las matemáticas son difíciles entonces la lógica no es fácil. Por tanto, si a los estudiantes no les gusta la lógica, las matemáticas no son difíciles.
- Si trabajo, entonces no estudio. Estudio o repruebo el curso de matemáticas. Aprobé el curso de matemáticas; luego, trabajo.
- Si el entero 35 244 es divisible entre 396, entonces el entero 35 244 es divisible entre 66. Si el entero 35 244 es divisible entre 66, entonces el entero 35 244 es divisible entre 3.