Números perfectos
Antes de definir qué es un número perfecto, tomemos, por ejemplo, tomemos el número 15 y calculemos todos sus divisores (números naturales que cumplen que la división de 15 entre esos números es exacta). Son, a saber, los siguientes: 1, 3, 5 y 15. Excluyamos al propio 15 y sumemos los demás:
1 + 3 + 5 = 9
El resultado de la suma nos da 9.
Tomemos ahora el número 28 y calculemos sus divisores. Son: 1, 2, 4, 7, 14 y 28. Excluimos, como antes, al propio 28 y sumamos el resto de divisores:
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
¡La suma da como resultado el propio número 28! Bien, los ejemplos anteriores nos permiten definir que es un número perfecto
Un número perfecto es un número natural que cumple que es igual a la suma de sus divisores propios (todos sus divisores excepto el propio número).
Por tanto, el 15 no es un número perfecto, pero el 28 sí lo es.
¿Por qué “perfectos”? Pues parece ser que se llaman así por cuestiones más bien místicas: Dios creó el universo en 6 días, y el 6 es un número perfecto; la Luna tarda 28 días en dar una vuelta a la Tierra porque el 28 es perfecto.
El más pequeño de los números perfectos es el que acabamos de citar, el 6:
Divisores propios de 6: 1, 2, 3, y se tiene que 1 + 2 + 3 = 6
El siguiente es el 28, y a ellos le siguen el 496 y el 8128. Los que se enumeran a continuación son los ocho primeros números perfectos conocidos:
6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128
El estudio de estos números perfectos está ligado al estudio de los mismos números naturales, por lo que se podría decir que han estado en la mente de los matemáticos desde que el hombre se interesó por el estudio más profundo de los números y sus propiedades. Pero, según sabemos, fue Euclides quien mostró por primera vez estudios y resultados con interés acerca de estos curiosos números.
Como se mencionó en el apartado anterior, Euclides demuestra que: Si para algún número natural n > 0 se cumple que 2n-1 es primo, entonces el número 2n-1(2n-1) es un número perfecto.
Por ejemplo, para k = 2 tenemos que 22 – 1 = 3 es primo. Entonces, el número que resulta de la operación 22 – 1 · (22 – 1) = 2 · 3 = 6 es, como ya hemos visto, perfecto. Y para k = 3 tenemos que 23 – 1 = 7 es primo, obteniendo así el número 23 – 1 · (23 – 1) = 4 · 7=28, que ya hemos visto que también es un número perfecto. El resto de números perfectos de la lista de los ocho primeros que aparecen unos párrafos más arriba se obtiene con k = 5, 7, 13, 17, 19 y 31.