Números de Mersenne
Un número de Mersenne es un número M de la forma:
En 1644, el monje francés Marin Mersenne (1588-1648) afirmó que los números de la forma 2n - 1 eran primos para n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 y 257, y que eran compuestos para los restantes enteros positivos n tal que n < 257. No obstante, ni él ni los matemáticos de la época pudieron probar dicha afirmación para todos esos números.
Recién alrededor de 1947 se terminó de chequear el rango de Mersenne, para n menor que 258, y se determinó que la lista correcta es: n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 y 127.
De tal afirmación surge el concepto de número primo de Mersenne, definiéndosele como un número primo de la forma 2n - 1.
Se considera que algunos autores antiguos pensaron que todos los números de la forma 2n - 1 eran primos para todos los n primos, pero en 1536 Hudalricus Regius demostró que 211 - 1 = 2047 que no es primo (es igual a 23x89). Posteriormente se verificó que 2n - 1 era primo para n = 17, 19 y 31, y que no era primo para n = 23, 29 y 37.
La aparición y avances en la era de las tecnologías de la información con máquinas capaces de realizar grandes cálculos y a gran velocidad, que anteriormente requerían mucho tiempo y tediosas labores ha permitido avanzar en el descubrimiento de mayores números primos de Mersenne, los que resultan inimaginables para la mayoría de seres humanos.
El inicio del año 2018, marca un hito para las matemáticas en general y para los
números primos en particular. El día 3 de enero de
2018, el grupo GIMPS anuncia el descubrimiento (y la confirmación) del primo
de Mersenne número 50. Este primo de Mersenne consta de 23 249 425 dígitos (más de 23 millones de dígitos), y se convierte en el mayor
número primo conocido hasta la fecha, superando al anterior, también un primo de Mersenne (el número 49) en casi un millón de
dígitos.
Este primo de Mersenne, el número 50 que se encuentra y que se designa como:
Escribiendo 3 dígitos por segundo, y sin parar en ningún momento, se tardaría casi 90 días en escribir este número.
Relaciones con los números de Mersenne
Tal y como se ha mencionado algunos párrafos arriba, Euclides, muchos siglos antes que Mersenne, ya conocía estos números, estableciendo relación entre ellos y los números perfectos. Si M es un número primo de Mersenne, entonces M·(M+1)/2 es un número perfecto. De igual forma Leonard Euler demostró que todos los números perfectos pares son de la forma M·(M+1)/2. No se conocen en la actualidad números perfectos impares, y se sospecha que no existe ninguno.