Múltiplos y divisores comunes
Divisibilidad
Definición
Sean a, b enteros con b ≠ 0. Decimos que b divide a a si existe un número entero c tal que a = b∙c.
Si b divide a a escribimos b|a. En tal caso b es divisor o factor de a y a es un múltiplo de b.
Si a y b son números enteros y b|a, entonces -b también divide a a ya que si
Divisores propios de un número
Un divisor propio de un número natural a es un número natural b que divide a a, pero b ≠ a.
Ejemplo
Para el número natural 72 tenemos que sus divisores son
Y sus divisores propios son
Algoritmo de la división
Teorema. Sean a, b son números enteros y b>0, entonces existen dos números enteros c y r tal que
Ejemplo
Números primos
Definición: Un número natural p se dice que es primo si p ≥ 2 y sus únicos divisores son 1 y p.
Lista de los primeros 100 números primos
Código fuente Python para imprimir una lista de números primos
Los números mayores que 1 que no son primos se denominan números compuestos.
Así tenemos que si n > 1 no primo, entonces
Lema: Todo número entero positivo mayor que 1 tiene al menos un divisor primo.
Divisores de un número
Los divisores de un número natural son los números que lo pueden dividir en una división exacta.
3 es divisor de 12 porque 12 ÷ 3 = 4 tiene residuo 0.
5 es divisor de 20 porque 20 ÷ 5 = 4 y su residuo es 0.
Ejemplos
Son divisores de 8 los números 1, 2, 4 y 8. Lo escribimos:
Son divisores de 35 los números 1, 5, 7, 35, es decir:
Se concluye que todo número natural tiene al menos dos divisores: El número 1, porque el uno es divisor de todos los números y el mismo número, ya que cualquier número es divisor de sí mismo.
Divisores comunes de varios números
Un número es divisor común de dos o más números si es divisor de todos ellos.
En el ejemplo anterior 12 y 15 tienen a 1 y 3 como divisores comunes
En el caso de 18 y 24 tienen a 1, 2, 3 y 6 como divisores comunes
Máximo común divisor
El máximo común divisor de dos números enteros a y b distintos de cero, es el mayor entero que divide tanto a a como a b. Lo denotamos MCD(a, b)
Ejemplo
Para los números 6, 12 y 18, sus divisores positivos son:
Calcular el MCD por descomposición en factores primos
Para calcular el Máximo Común Divisor de varios números por descomposición de factores procedemos de la siguiente forma.
Para ello: Descomponemos en factores primos los números y tomamos los factores comunes a ambos con el menor exponente con que aparezcan.
Ejemplo
Calcular el MCD de 48, 72 y 96
De las descomposiciones factoriales anteriores tenemos que:
48 = 24∙3 72 = 23∙32 96 = 25∙3
Tomamos los factores comunes con su menor exponente y multiplicamos
MCD(48, 72, 96) = 23∙3 = 8 ∙ 3 = 24
El método anterior, aunque es un método bastante útil y sencillo para calcular el MCD, tiene un evidente problema: si los números son muy grandes, o si sus factores primos lo son, el procedimiento se vuelve bastante tedioso.
Por ello es interesante tener a mano otro método para casos en los que el procedimiento inicial se complique. Para ello utilizaremos el algoritmo de Euclides.
Algoritmo de Euclides
Para calcular el máximo común divisor de dos números enteros positivos a y b, dividimos el mayor, que puede ser a, entre el menor, supongamos b. Esta división nos proporcionará un cociente y un resto. Si aplicamos repetidamente el algoritmo del cociente, se obtiene:
Entonces, el máximo común divisor entre a y b es el último resto distinto de cero que obtengamos en el procedimiento anterior.
Se adjunta el código en Python para obtener el máximo común divisor de dos números.
Ejemplo
Determinar el mcd(721, 448)
Aplicando el algoritmo de Euclides, tenemos:
Ejemplo
Determinar el mcd(12378, 3054)
Múltiplos de un número
El conjunto de los múltiplos de un número es un conjunto infinito obtenido del resultado de multiplicar ese número por cada uno de los números naturales (por conveniencia excluiremos el 0).
Son múltiplos de 2 los números 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14... y otros, lo representamos así:
Se obtienen al multiplicar 2∙1, 2∙2, 2∙3, ...
Son múltiplos de 3 los números 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21...
Se obtienen al multiplicar 3∙1, 3∙2, 3∙3, 3∙4, ...
Como vemos en los ejemplos anteriores los múltiplos de un número son mayores o iguales al mismo número.
Múltiplos comunes de varios números
Si escribimos los conjuntos de múltiplos de dos o más números compuestos es posible encontrar múltiplos comunes.
Por ejemplo, vamos a ver los múltiplos comunes de 3 y 4
Hemos señalado con rojo los múltiplos que son comunes a ambos números. Así tenemos que los múltiplos comunes de 3 y 4 forman el conjunto M= {12, 24, 36, 48, 60 ...}
El mínimo común múltiplo
De todos los múltiplos comunes de varios números, al menor de ellos, lo llamamos "mínimo común múltiplo".
Se suele escribir como mcm(a, b)
Ejemplos
1) El mcm(3, 4) = 12 porque
M3 = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ...}
M4 = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...}
2) El mcm(2, 4 y 8) = 8 porque es el menor de los múltiplos comunes
M2 = {2, 4, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20...}
M4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28...}
M8 = {8, 16, 24, 32...}
Calcular el mcm por descomposición en factores primos
Se obtiene simultáneamente la factorización completa de los números, según la o las reglas de divisibilidad que satisfaga cada número, hasta obtener la unidad en cada uno, esos factores comunes y no comunes se multiplican entre sí. El producto de los factores extraídos es el mcm de los números procesados.
Ejemplo
Calcular el mcm de 48, 72 y 96
El mcm de 48, 72 y 96 es 288.
Conociendo el máximo común divisor de dos números, se puede calcular el mínimo común múltiplo de ellos, que será el producto de ambos dividido entre su máximo común divisor.
Ejemplos
María y Jorge tienen 25 bolas blancas, 15 bolas azules y 90 bolas rojas y quieren hacer el mayor número de collares iguales sin que sobre ninguna bola.
a) ¿Cuántos collares iguales pueden hacer?
b) ¿Qué número de bolas de cada color tendrá cada collar?
Solución
Debemos encontrar el MCD(25, 15, 90)
Total de bolas: 15 + 25 + 90 = 130
Número de bolas de cada collar: 130 ÷ 5 = 26
Un viajante va a Madrid cada 18 días, otro va a Madrid cada 15 días y un tercero va a Madrid cada 8 días. Hoy han coincidido en Madrid los tres viajantes. ¿Dentro de cuántos días como mínimo volverán a coincidir en esa ciudad?
Solución
Debemos encontrar el MCD(25, 15, 90)
El mcm(18, 15, 8) = 360
R. Deben transcurrir 360 días para que se vuelvan a encontrar en Madrid.