Sistemas de ecuaciones

Existen variados métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, sin embargo, más importante que dominarlos lo importante es seleccionar un método que parezca fácil y con el que se sienta la comodidad al momento de trabajar.


MÉTODO DE REDUCCIÓN . En este método se igualan los coeficientes de una de las incógnitas en valor absoluto, para posteriormente eliminar esa incógnita y despejar el valor de la segunda, por ello es conveniente que una de las dos ecuaciones quede con coeficiente con signo contrario.

 

Luego sustituimos el valor de la incógnita determinada en la primera ecuación para determinar el valor de la incógnita inicialmente eliminada.


Ejemplos
Resolvamos el sistema:

En este caso podemos igualar los coeficientes de x ya que 4 es múltiplo de 2, por lo que podemos multiplicar la segunda ecuación por -2.

 

A continuación, sumamos los términos semejantes en el sistema, a saber:

 

 

Despejamos la ecuación resultante que se ha obtenido al sumar términos semejantes.

Con el valor obtenido, en este caso y = 2 vamos a tomar una de las ecuaciones del sistema y sustituimos, para encontrar el valor de x.

Finalmente tenemos que el conjunto solución del sistema es x=4, y =2.

Resuelve:

 

Podemos multiplicar la primera ecuación por 3 o por - 4. Elegimos la primera opción.

 

 

 

Sumamos términos semejantes.

Despejamos la ecuación resultante y luego sustituimos en cualquier ecuación.

 

 

 

 

La solución del sistema está dada por los valores: x=6, y=2

 

Método de Gauss-Jordan
Tipos de sistemas


Un sistema de ecuaciones lineales puede ser:
Compatible determinado: sólo tiene una solución.
Compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones.
Incompatible: no tiene solución.

 

Forma matricial de un sistema
La forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales es

 A * X = B

donde
A  es la matriz que en la fila i-ésima contiene los coeficientes de las incógnitas de la ecuación i.
X  es la matriz columna con las incógnitas.
B  es la matriz columna con los términos independientes de las ecuaciones.
A* es la matriz ampliada o aumentada del sistema, formada por las matrices A  y B:

A* =(A|B)

Ejemplo:

Su matriz ampliada es:

Para resolver un sistema de ecuaciones podemos realizar las siguientes operaciones fundamentales en la matriz aumentada, sin alterar la solución del sistema:
  • Intercambiar el orden de las filas.
  • Sumar algunas de sus filas o la resultante de alguna de estas operaciones.
  • Multiplicar alguna fila por una constante distinta de 0.
Esto es precisamente lo que se hace en el método de Gauss: se modifican las ecuaciones para obtener un sistema mucho más fácil de resolver, pero, en lugar de hacerlo sobre las ecuaciones, se hace sobre la matriz ampliada del sistema.
El método de eliminación de Gauss consiste en operar sobre la matriz ampliada del sistema hasta hallar la forma escalonada (una matriz triangular superior). Así, se obtiene un sistema fácil de resolver por sustitución hacia atrás.
Si finalizamos las operaciones al hallar la forma escalonada reducida (forma lo más parecida a la matriz identidad), entonces el método se denomina eliminación de Gauss-Jordan.
Si se obtiene la matriz identidad, el sistema es compatible determinado.
Si se obtiene alguna fila de ceros con término independiente distinto de 0, el sistema es incompatible.
Si se obtiene alguna fila de ceros y no estamos en el caso anterior, el sistema es compatible indeterminado.
Ejemplo
Resolver el sistema

Solución
Iniciamos escribiendo la matriz ampliada, en este caso 2 renglones y 3 columnas.  En la columna 1 irán los coeficientes de x, en la columna 2 los coeficientes de y en la tercera columna los coeficientes del término independiente.


Realizaremos operaciones fundamentales para tratar de obtener al lado izquierdo de la matriz aumentada una matriz identidad, iniciaremos obteniendo los ceros correspondientes (fila 1, columna 2 y fila2, columna 1).


Para ello en la matriz original generaremos la diagonal identidad.  Dividiremos la primera fila entre -4 y la segunda entre 2


Luego, la solución del sistema es: 

Ejercicios
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.