Radicación

La expresión $\sqrt[n]{x}$  se llama radical; n recibe el nombre de índice del radical y x se llama el subradical.


Ejemplo:

 

Simplificación de radicales

 

Si el índice de un radical, y el exponente (o exponentes) del subradical tienen divisores comunes, entonces al dividir el índice y el o los exponentes del subradical por un mismo número natural entonces obtenemos un radical equivalente.

 

Reducción de radicales a común índice

 

Para reducir dos o más radicales a común índice:

 

1.   Obtenemos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice.

 

2.    Dividimos el común índice por cada uno de los índices y el resultado obtenido se  multiplica por los exponentes correspondientes en cada subradical.

 

 

Ejemplo:

 

Reducir a común índice el siguiente par de radicales.

Solución:

 

Extracción de factores fuera del signo radical

 

Se descompone el subradical en factores. Se analiza la descomposición factorial de forma tal que:

 

1.     Los factores cuyo exponente es menor que el índice, permanecen en el subradical.

 

2.      Si existen factores cuyo exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.

 

3.      Si tenemos factores cuyo exponente es mayor que el índice, se divide ese exponente entre el índice.  Se extrae la base de ese factor con exponente igual al cociente y queda en el subradical la base con exponente igual al resto o residuo de la división. Este paso es equivalente a descomponer esa potencia en un producto de potencias de igual base donde uno de los factores tiene el mayor exponente divisible entre el índice.

 

 

Ejemplo:

 

Producto de radicales

 

Para multiplicar radicales, éstos deben tener un índice común, caso contrario se reducen a común índice y se multiplican los subradicales conservando el índice.

Ejemplos:

\[\begin{align*} \sqrt[3]{2x^3y^5} \cdot \sqrt[3]{8x^3y} =& \\ Puesto\ que\ tienen\ índice\ común,& \\ multiplicamos\ subradicales:& \\ \sqrt[3]{\left (2x^3y^5 \right )\left (8x^3y \right )}= & \\ \sqrt[3]{16x^6y^6} = & \\ \sqrt[3]{2^4x^6y^6} = & \\ 2x^2y^{2} \sqrt[3]{2} \end{align*}\]
\[\begin{align*} \sqrt[4]{5x^4y^2} \cdot \sqrt[5]{8x^3y} =& \\ Obtenemos\ el\ común\ índice\ y\ reducimos& \\ \sqrt[20]{\left (5^{5} x^{4 \cdot 5} y^{2 \cdot 5} \right )\left (8^{4}x^{3 \cdot 4} y^{4} \right )}= & \\ \sqrt[20]{\left (5^{5}x^{20}y^{10} \right )\left ( 8^{4}x^{12}y^{4} \right )} = & \\ \sqrt[20]{5^{5}8^{4}x^{32}y^{14}} = & \\ x \sqrt[20]{5^{5}8^{4}x^{12}y^{14}} \end{align*}\]

Cociente de radicales

 

Para dividir radicales, éstos deben tener un índice común, caso contrario se reducen a común índice y se dividen los subradicales conservando el índice.

Ejemplos:

\[\frac{\sqrt[5]{x^{11}y^{7}}}{\sqrt[5]{x^{9}y^{2}}}= \sqrt[5]{\frac{x^{11}y^{7}}{x^{9}y^{2}}}=\sqrt[5]{x^{11-9}y^{7-2}}=\sqrt[5]{x^{2}y^{5}}=y\sqrt[5]{x^2}\]
\[\begin{align*} \frac{\sqrt[3]{2x^{8y^{12}}}}{\sqrt[4]{x^{11}y^{5}}} =& \sqrt[12]{\frac{2^{4}x^{32}y^{48}}{x^{33}y^{15}}} \\ =& \sqrt[12]{\frac{16y^{48-15}}{x^{33-32}}} \\ =& \sqrt[12]{\frac{16y^{33}}{x}} \\ =& \sqrt[12]{\frac{16 y^{24}y^{9}}{x}} \\ =& y^{2}\sqrt[12]{\frac{16y^{9}}{x}} \end{align*}\]

Radical de un radical

 

El radical de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.

Ejemplos:

\[1. \sqrt{\sqrt[3]{2x}}=\sqrt[2 \cdot 3]{2x}= \sqrt[6]{2x}\]
\[\begin{align*} 2. \sqrt{\sqrt[3]{2 \sqrt{2}}}=& \sqrt[6]{2 \sqrt{2}} \\ =& \sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[12]{2} \\ =& \sqrt[12]{2^{2} \cdot 2} \\ =& \sqrt[12]{2^{3}} \\ =& \sqrt[4]{2} \end{align*}\]

EJERCICIOS

 

I Extraiga todos los factores posibles del radical dado y simplifique

II Exprese como un solo radical y simplifique si es posible

III Aplique propiedades de los radicales, extraiga todos los factores posibles y cuando sea factible reducir el radical.