Potenciación

Una potencia es el producto de factores iguales, es decir,

\[a^{n}=\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{n \ veces}\]

Las siguientes son las principales propiedades referidas a las operaciones con potencias:

 

MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS
Potencias de igual base.

En tal caso conservamos la base y sumamos los exponentes

\[a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m}\]

Ejemplo:

\[3^{2} \cdot 3^{3} = 3^{2+3}=3^5=243\]

Potencias de distinta base e igual exponente.

Se multiplican las bases y se conserva el exponente.

\[a^n \cdot b^n = \left ( a \cdot b \right )^n\]

Ejemplo:

\[5^2 \cdot 3^2 = \left ( 5 \cdot 3 \right )^2=15^2=225\]

DIVISIÓN DE POTENCIAS

Potencias de igual base

 

Para dividir potencias de igual base, conservamos la base y restamos los exponentes.

\[a^n \div a^m =\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\]

Ejemplo:

\[4^5 \div 4^7 =\frac{4^5}{4^7}=4^{5-7}=4^{-2}\]

 

Potencias de distinta base e igual exponente

\[a^n\div b^n=\left(a\div b\right)^n=\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\]

Ejemplo:

\[10^3 \div 5^3 =\left ( 10 \div 5 \right )^3=2^3=8\]

POTENCIA DE UNA POTENCIA

Para elevar a potencia una potencia, se conserva la base y multiplicamos sus exponentes.

\[\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}\]

Ejemplo:

\[\left ( p^3 \right )^2=p^{3 \cdot 2} = p^6\]

 

POTENCIA DE EXPONENTE NEGATIVO

 

La potencia de un número con exponente negativo es igual al inverso multiplicativo del número elevado al mismo exponente con signo positivo.

 

Base entera

\[a^{-n}=\left ( \frac{1}{a} \right )^n=\frac{1^n}{a^n}=\frac{1}{a^n}\]

Ejemplo:

\[3^{-2}=\left ( \frac{1}{3} \right )^2=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}\]

Base fraccionaria

\[\left ( \frac{a}{b} \right )^{-n}=\left ( \frac{b}{a} \right )^n=\frac{b^n}{a^n}\]

Ejemplo:

\[\left ( \frac{2}{3} \right )^{-5}=\left ( \frac{3}{2} \right )^5=\frac{3^5}{2^5}=\frac{243}{32}\]

 

POTENCIA DE EXPONENTE CERO

 

Cualquier potencia de exponte cero dará como resultado 1

\[a^0=1, a \neq 0\]

Ejemplos:

\[\begin{align*} 7^0=&1 \\ \left ( 2x^3 - 5x +3 \right )^0 =& 1 \end{align*}\]

Reto: Muestre con un ejemplo porque cualquier base distinta de cero elevada a la cero es igual a 1


POTENCIA DE BASE 1

\[1^n=1\]

Ejemplo:

\[1^5=1\]

 

 

POTENCIA DE EXPONENTE FRACCIONARIO

 

Una potencia de exponente fraccionario se transforma en un radical cuyo índice será el denominador del exponente y el subradical será la base elevada al numerador del exponente.

\[a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\]

Ejemplo:

\[5^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{5^3}=\sqrt[4]{125}\]

 

Ejercicios: