Factorizar trinomios
Factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c
El trinomio de la forma x2 + bx + c se puede descomponer en dos factores binomios siguiendo el siguiente proceso.
Ejemplos
$ 1. \quad x^2 + 6x + 5 $
a. Hallar dos factores cuyo producto de como resultado el primer término $ x \cdot x $
b. Hallar los divisores del tercer término, tal que su producto sea igual al tercer término y su suma igual al coeficiente numérico del segundo término. Luego, los divisores de 5 son 1 y 5 (por ser número primo), por lo tanto, su producto puede ser:
$$ 1 \cdot 5 \quad o \quad -1 \cdot -5 $$
Pero la suma debe ser +6, entonces los números serán +1 y +5. Se escribe la factorización como el producto de dos binomios cuyo primer término en cada caso sean los factores del primer término del trinomio y el segundo término en cada caso sean los factores del tercer término del trinomio, precedidos de su signo, con ello obtenemos:
$ 2. \quad x^2 + 4xy -12y^2 $
a. Hallar dos factores que den como resultado el primer término $ x \cdot x $
b. Hallar los divisores de $ -12y^2 $ , estos pueden ser:
c. Pero la suma debe ser +4, luego servirán $ 6y \cdot -2y $, es decir:
Ejercicios
Factorizar los siguientes trinomios
Factorización de un trinomio de la forma $ax^2 + bx + c$
Ejemplo
$1. \quad 2x^2 -11x+5 $
1. El primer término se descompone en dos factores $2x \cdot x$
2. Se buscan los divisores del tercer término (5 y 1) y se expresan como producto:
$$5 \cdot1, 1 \cdot5, -5 \cdot-1, -1 \cdot-5$$
3. Parcialmente la factorización sería $\left(2x+5\right)\left(x+1\right)$
Pero no sirve pues el producto da: $2x^2+7x+5$
Si reemplazamos por $\left(2x-1\right)\left(x-5\right)$
En este caso nos da $2x^2-11x+5$
Un método de resolución es el siguiente:
Se descompone en factores el primero y tercer términos, si el signo del segundo término es negativo los factores del tercer término no podrán ser positivos.
Se comprueba si la suma de los productos de los términos diagonalmente opuestos (distinto color) es igual al segundo término: En este caso -11x
(2x⋅−5)+(x⋅−1)=−10x+−1x=−11x(2x⋅−5)+(x⋅−1)=−10x±1x=−11x
Se forman los dos binomios agrupando términos paralelos en la misma fila o renglón (igual color) con su respectivo signo como operando.
Ejercicios
Factorización de un trinomio cuadrado perfecto
Un polinomio es un trinomio cuadrado perfecto, si el primero y el tercer término son cuadrados perfectos y si el producto de la raíz cuadrada del primer término por la raíz cuadrada del tercer término nos da como resultado el valor absoluto del segundo término del polinomio original.
Ejemplo
Factorizar $9x^2-30x+25$
Proceso:
1. Hallar la raíz cuadrada del primer término $\sqrt{9x^2} =3x$
2. Hallar la raíz cuadrada del tercer término $\sqrt{25}=5$
Comprobamos que dos veces la raíz del primer término por la raíz del segundo término es igual en valor absoluto al segundo
$$2 \cdot3x \cdot5 = 30x$$
Luego la factorización del trinomio es la suma o la resta de esas dos raíces, según el signo del segundo término:
$$9x^2-30x+25=\left(3x-5\right)\left(3x-5\right)=\left(3x-5\right)^2$$
Ejercicios
Factorizar
