Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
Las ecuaciones que no se reducen a la ecuación algebraica mediante transformaciones algebraicas, se llaman ecuaciones trascendentes. Por transformaciones algebraicas de la ecuación f(x) = 0, se entiende las transformaciones siguientes:
1. La adición a ambos miembros de la ecuación de una misma expresión algebraica.
2. La multiplicación de ambos miembros de la ecuación por una misma expresión algebraica.
3. La elevación de ambos miembros de la ecuación a una potencia racional.
Las ecuaciones trascendentes que trataremos ahora son, las exponenciales y las logarítmicas.
Se conoce como ecuación exponencial a una ecuación donde la incógnita forma parte sólo de los exponentes de potencias para ciertas bases constantes.
Una de las ecuaciones exponenciales más simples, cuya solución se reduce a la de una ecuación algebraica, es la ecuación del tipo $a^{f(x)}=b$ , pero también hay ecuaciones exponenciales del tipo
Ejemplos
Solución de las Ecuaciones Exponenciales. Existen dos métodos fundamentales de resolución de las ecuaciones exponenciales.
1. Método de reducción a una base común. Si ambos miembros de una ecuación se pueden representar como potencias de base común , donde la base es un número positivo, distinto de 1. Usando la propiedad:
En otras palabras, los exponentes se igualan y resulta un tipo de ecuación en el cual se aplican las transformaciones algebraicas explicadas anteriormente.
2. Método de logaritmación de una ecuación exponencial. Se aplica logaritmos a conveniencia en ambos lados de la ecuación y se procede con las transformaciones algebraicas y las leyes de logaritmos conocidas.
Ejemplos
Ecuaciones logarítmicas
Con el uso de los logaritmos, los procesos de multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces entre números reales pueden simplificarse notoriamente.
Definición: Sea a un real positivo fijo, a≠1 y sea x cualquier número real positivo, entonces:
La función que hace corresponder a cada número real positivo su logaritmo en base a≠1, denotada por $log_{a} x$, se llama: función logarítmica de base a, y, el número loga x se llama logaritmo de x en la base a. La definición anterior, muchas veces, se expresa diciendo que: el logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.
Propiedades de los logaritmos
1. El logaritmo de la base es 1.
2. El logaritmo de 1 es 0, cualquiera que sea la base.
3. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores
4. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador
5. El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base de la potencia
6. El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice
7. Cambio de base: El logaritmo en base a de un número se puede obtener a partir de logaritmos en otra base
Cuando a > 1 , si 0 < x < y , entonces, loga x < loga y . Es decir, la función logarítmica de base a > 1 es estrictamente creciente en su dominio. Cuando 0 < a < 1, si 0 < x < y , entonces, loga x > loga y .
Esto es la función logarítmica de base entre 0 y 1; es estrictamente decreciente en su dominio.
Ejemplos
Calcule en cada caso.
Ejercicios
Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales
Hallar el logaritmo de
Resolver aplicando propiedades de logaritmos
