Números Reales
Ante la necesidad de contar los elementos de un conjunto (cardinalidad), surgen los números naturales. Originalmente el hombre los utiliza estos números para el conteo o bien para expresar la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal). A estos números se les denomina Conjunto de los Números Naturales, que suelen representarse de la siguiente manera:
O bien mediante una representación gráfica, así:
Algunas propiedades importantes del conjunto de los números naturales son:
- La suma y el producto de números naturales, nos dan como resultado otro número natural, es decir se cumple la propiedad de cierre en ese conjunto para estas operaciones.
- La resta de dos números naturales, no siempre nos dará como resultando otro número natural.
Por ejemplo:
pero
El cociente de dos números naturales, no siempre dará por resultado otro número natural. Un caso particular es el de la división exacta.
Por ejemplo:
pero
La potencia de dos números naturales es otro número natural, recordemos la potenciación corresponde al producto sucesivo de la base, tantas veces como indique el exponente. La raíz de un número natural, no necesariamente es un número natural, excepto en los casos de raíces exactas.
NÚMEROS ENTEROS
El conjunto de los números enteros es una ampliación del conjunto de los números naturales y surgen ante la necesidad de expresar valores que expresan el mismo valor absoluto, aunque en situaciones opuestas. Por ejemplo: Tener ahorradas 2 000 UM (unidades monetarias) o deber 2 000 UM, encontrarnos a 200 m.s.n.m. (metros sobre el nivel del mar) o estar a 200 m.b.n.m. (metros bajo el nivel del mar). Vivir 1980 años A.C. o vivir 1980 años D.C.
Utilizamos la siguiente convención para representar al conjunto de los números enteros:
Las siguientes son propiedades de algunas operaciones en el conjunto de los números enteros:
1. La suma, la resta y el producto de dos números enteros, siempre da como resultado otro número entero.
2. El cociente de dos números enteros no necesariamente es igual a un número entero.
Por ejemplo:
pero
La potencia de dos números enteros no siempre es igual a otro número entero, se exceptúan las potencias en las que el exponente es positivo.
Por ejemplo:
pero
La raíz de un número entero no necesariamente es un número entero.
Por ejemplo:
pero
más aún
NÚMEROS RACIONALES
Como hemos visto hasta ahora, los conjuntos numéricos surgen ante las distintas necesidades del hombre en su cotidianeidad y este nuevo conjunto y cualquier otro por ver no hace ninguna excepción. El conjunto de los números racionales surge ante la necesidad de distribuir o repartir algo, por ejemplo. Es por eso que los números racionales se representan como el cociente de dos números enteros, siempre que el denominador no sea cero.
En notación de conjuntos se define por extensión al conjunto de los números racionales, de la siguiente manera:
y por comprensión así:
En la recta numérica, una representación de este conjunto, podría ser:
Los números racionales pueden expresarse como números con expresión decimal (decimal exacto, periódico puro y periódico mixto); pero los números decimales ilimitados no son elementos del conjunto de los números racionales.
La suma, la resta, el producto y el cociente de dos números racionales es otro número racional. La potencia de un número racional es otro racional, siempre que el exponente sea un número entero cualquiera y finalmente la raíz de un número racional no siempre es igual a otro racional.
NÚMEROS IRRACIONALES
Como vimos en el conjunto de los números racionales, estos pueden ser expresados como un número decimal exacto, periódico puro o periódico mixto. Aquellos números decimales no periódicos y no exactos, y que en consecuencia no pueden ser expresados como una fracción constituyen el conjunto de los números irracionales.
Un número irracional muy conocido es el número π, que se define como la relación existente entre la longitud de la circunferencia y el diámetro en un círculo.
Otros números irracionales conocidos son, el número e, que aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos.
El número áureo, φ, también es un número irracional muy utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí...) en las proporciones de sus obras.
NÚMEROS REALES
El conjunto formado por la unión del conjunto de los números racionales e irracionales, constituye el conjunto de los números reales, que se representa simbólicamente mediante la letra R.
En un diagrama de Venn, podemos representar al conjunto de la siguiente manera:
OPERACIONES CON NÚMEROS REALES
Aquí te proponemos una forma nemotécnica sencilla para aprender a sumar y restar mediante dos reglas muy fáciles de recordar:
Si se tienen dos números de signos iguales, entonces se suman (entendido como suma en números naturales) y se conserva el mismo signo.
Ejemplo:
3+5 = 8 esta es una suma común y corriente entre naturales, pero y si fuera...
-3-5 = -8; observa que igual se obtiene 8 como en la anterior pero esta vez es de signo negativo porque ambos números son negativos y en realidad estamos avanzando hacia la izquierda sobre la recta real.
Si se tienen dos números de signos diferentes, entonces se restan (entendido como resta entre números naturales, el mayor menos el menor) y se deja el signo de la magnitud mayor.
Ejemplo:
5 – 3 = 2
-5 + 3 = -2
En el primer ejemplo es una resta común y corriente entre número naturales. En el segundo caso tenemos dos enteros –5 y 3. La regla dice que se restan como se haría entre números naturales 5-3 da 2, pero como la magnitud mayor es 5 y es de signo negativo el resultado queda negativo –2.
Esto no quiere decir que –5 sea mayor que 3. Si tengo 3 dólares en el bolsillo estoy más contento que si me faltan 5 (-5), sólo es una norma nemotécnica para que aprendas a sumar y restar.
Mira estos otros ejemplos:
-7+10=3 que es lo mismo que 10 - 7=3
7-10 = -3 que es lo mismo que –10+7 = -3
-4-2-5-10= -21
4+2+5+10= 21
-4+5-10-20+15-7+9=
Para estos ejercicios largos es buena idea agrupar por signos, así:
-4-10-20-7 = -41 ; 5+15+9=29
Y luego restar: -41+29 = -12
Nótese que se operó entre los resultados anteriormente obtenidos y se volvió a aplicar la regla. Número de signos diferentes “se restan” y el resultado queda con el signo de la magnitud mayor, en este caso 41.
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
Para estas operaciones es obvio que debes conocer las tablas de multiplicación y además saber que:
Es decir que signos iguales dan positivo y signos diferentes negativo.
Ejemplo:
OPERACIONES COMBINADAS
PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES . Cuando en una operación tenemos diferentes tipos de operandos, se procederá de la siguiente forma para efectuar la operación.
Si la operación tiene paréntesis se resuelven primero las operaciones entre paréntesis, si hay anidamiento de paréntesis éstos se resuelven de adentro hacia afuera.
En el caso de que no haya paréntesis la prioridad de resolución es la siguiente: Orden 1 (multiplicaciones y divisiones) y a continuación las sumas y restas.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
OPERACIONES CON FRACCIONES
SUMA Y RESTA
Suma y resta de homogéneos. Son las fracciones con igual denominador, son las más fáciles de sumar, simplemente se suman los reales de los numeradores y se deja el mismo denominador:
Suma y resta de heterogéneos. Lo importante para la suma y resta de fracciones heterogéneas es encontrar el común denominador, el cual es el mínimo común múltiplo de todos los denominadores presentes.
En el ejemplo anterior se obtuvo el común denominador multiplicando los denominadores. Como común denominador también hubiese servido 30, 45, 60, etc. Pero la idea es escoger el múltiplo mínimo, en este caso 15.
Además, observa que la operación es muy sencilla:
Se encuentra el mínimo común múltiplo y se coloca como denominador común
Se divide el común denominador entre el primer denominador y el resultado se multiplica por el numerador.
luego
.
Se repite la operación para cada uno de las fracciones, y luego se suman los resultados obtenidos.
Ejemplo:
Esta vez no se multiplicaron entre sí los denominadores porque no es necesario, 8 es múltiplo común tanto de 2 como de 4 y del mismo 8. Eso no quiere decir que, si tú escogieras por ejemplo 16, 24, 32 o cualquier otro múltiplo más grande estaría mal. ¡No! Sólo sería un múltiplo innecesariamente grande y por lo tanto las multiplicaciones por los numeradores crecerían proporcionalmente.
Algunas veces obtener el común denominador mentalmente no es fácil, entonces debes recurrir a la regla para hallar el mínimo común múltiplo.
Ejemplo:
¿Cuál será el común denominador?
Descomponemos los denominadores es sus factores primos.
Por lo tanto, el común denominador será 144, luego:
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
Para este tema debes conocer las tablas de multiplicar, las leyes de la multiplicación de signos y en lo posible saber simplificar fracciones.
La multiplicación se realiza numerador con numerador y denominador con denominador
Así:
Ejemplo:
¿Qué sucedió? Sucedió que el resultado se puede simplificar.
DIVISIÓN DE FRACCIONES
Se puede realizar de dos formas:
- En diagonal
- Extremos / Medios:
Es obvio que en ambos casos se obtiene lo mismo, pero las dos formas son útiles en uno u otro momento. Igualmente, que, en multiplicación de fracciones, cuando la división ya está expresada como una multiplicación puedes emplear la simplificación para facilitar tu labor.
Ejemplo :
EJERCICIOS
Resuelva las siguientes operaciones