Teoría de conjuntos

Volviendo al conjunto anterior, también podemos afirmar que:

Y se representa simbólicamente de la siguiente manera:

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

Hay dos formas de determinar conjuntos.

POR EXTENSIÓN

Se dice que un conjunto es determinado por EXTENSIÓN (o enumeración), cuando se da una lista que comprende a todos los elementos del conjunto y sólo a ellos.

Ejemplos:

A={a, e, i, o, u} entonces a∈A, o∈A pero v∉A

B={0, 2, 4, 6, 8}

C = { m, a, t, e, i, c, s } En un conjunto determinado por extensión no se repite un mismo elemento y contiene cada una de las letras de la palabra matemáticas. 

POR COMPRENSIÓN

Se dice que un conjunto es determinado por COMPRENSIÓN, cuando se enuncia una propiedad que la cumpla en todos los elementos del conjunto y tal que es válida sólo a ellos.

Ejemplos:

A = {x/x es una letra vocal}

B = {x/x es un número positivo par menor que 10}, entonces 2∈B pero 5∉B

C = {x/x es una letra de la palabra matemáticas}

Vamos a mostrar la determinación de conjuntos:

Por extensión

A = { a, e, i, o, u }

B = { 0, 2, 4, 6, 8 }

C = { c, o, n, j, u, t, s }

D = { 1, 3, 5, 7, 9 }

E = { b, c, d, f, g, h, j, . . ., x, y, z}

Por comprensión 

A = { x/x es una vocal }

B = { x/x es un número positivo par menor que 10 } 

C = { x/x es una letra de la palabra conjuntos }

D = { x/x es un número positivo impar menor que 10 } 

E = { x/x es una consonante del alfabeto español}

CONJUNTOS FINITOS

Un conjunto es finito si consta de cierto número de elementos distintos, es decir si al contar los diferentes elementos del conjunto el proceso de contar termina. En caso contrario, el conjunto es infinito.

Ejemplos:

M = {x / x es un alumno matriculado en el curso Matemática Discreta} Conjunto finito

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... } Conjunto infinito

P = {x / x es un país miembro de la Organización de Naciones Unidas} Conjunto finito

V = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ... } Conjunto infinito

IGUALDAD DE CONJUNTOS

Se dice que 2 conjuntos A y B son iguales cuando ambos tienen los mismos elementos, es decir si cada elemento de A pertenece a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A. La igualdad se denota A = B.

En la igualdad, el orden de los elementos de cada conjunto no importa.

Ejemplos:

 A = {1, 2, 3, 4}   B = {3, 4, 1, 2}      A= B

 C = {1, 2, 3, 3, 4, 1}   D = {1, 2, 2, 3, 3, 4,}    C= D

 E = {x/x es una vocal de la palabra mundo}   F = {u, o}  E = F

CONJUNTO VACÍO

Es un conjunto que no posee elementos. Suele llamársele conjunto nulo, y se le denota por el símbolo ø o { }

Ejemplos:

A= { x/x es número natural menor que 0 }  A = { }   A = Ø

B = { x / x es un mes que tiene 33 días}   B = { } B = Ø

C = { x / x = 8 y x es impar }  C = { } C = Ø

D = { x / x es un día terrestre de 90 horas } D = { } D = Ø

CONJUNTO UNITARIO

Es todo conjunto que está formado por un sólo y único elemento.

Ejemplos:

A = {5}

B = {x/x es un número par entre 6 y 10} = {8}

C = {x/x es la capital de Costa Rica} = {San José}

D = {x / 2x = 6} = {3}

CONJUNTO UNIVERSAL

Es el conjunto que contiene a todos los elementos del discurso, dicho de otra manera, es el conjunto referencias de todos los elementos que estemos manejando. Es un término relativo. Se le denota por la letra U.

Ejemplos:

Sean los conjuntos:

P={x/x es un número primo par}

X={0, 2, 4, 6, 8, 10}

I={x/x es un número positivo impar menor que 11}

Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos P, X, I. Es

U = {x/x es un número positivo menor o igual que 10}

Gráficamente se representa por un rectángulo tal como

CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO

La cardinalidad de un conjunto es un concepto que se refiere al número de elementos que tiene dicho conjunto. En el diagrama anterior la cardinalidad de U es 10 y se representa así:

N(U)=10 o #(U)=10

SUBCONJUNTOS

Decimos que un conjunto A es subconjunto de otro B, si cada elemento de A lo es de B. Si A no es un subconjunto de B, vemos a continuación los diagramas de Venn y su escritura simbólica. 

En términos simbólicos esto suele ser expresado de la siguiente forma:

Que leemos A está contenido en B si y solo si cada elemento de A, es elemento de B. 

Ejemplos:

1. Se tiene que $\mathbb{Z}^+\subset \mathbb{Z}$

Por otra parte, si $\mathbb{Q}$ denota el conjunto de los números racionales, entonces $\mathbb{Z}^+\subset \mathbb{Q}$ 

2. Sean A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 4, 5} y C = {1, 2, 3, 4, 5}.

3. Si A es un conjunto cualquiera, $A\subseteq A$

Es decir, todo conjunto es un subconjunto de sí mismo. 

CONJUNTO DE CONJUNTOS

Es un conjunto cuyos elementos son todos conjuntos.

Ejemplo:

F = {{}, {a}, {a, b}, {a,b,c}}

Solamente en este caso es válido decir que {a} es un elemento de F, o sea  $\left\{ a \right\} \in F$

Pero no es correcto indicar que $\left\{ a,b \right\} \subset F$,  ya que en este caso particular $\left\{ a,b \right\} \in F$ 

CONJUNTO POTENCIA

El conjunto potencia de un conjunto M está formado por la familia de todos los subconjuntos del conjunto M se le llama Conjunto Potencia de M. Se le denota como 2^M 

Ejemplos:

a) M = { 1, 2 } El conjunto M tiene 2 elementos, la cardinalidad de M es 2.

2^M = { {1}, {2}, {1, 2}, ø} entonces M tiene 2² = 4 subconjuntos 

b) M = { 1, 2, 3 } El conjunto M tiene cardinalidad 3.

2^M = { {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, ø} entonces M tiene 2³ = 8 subconjuntos

Si un conjunto M es finito con "n" elementos, entonces su cardinalidad es “n” y el conjunto potencia 2^M tendrá 2ⁿ elementos que corresponde al número de subconjuntos de M.

EJERCICIOS:

1. Sea A = {1, 2, 4, 6, a, b, c, d}. Escriba en cada caso una V si la proposición es verdadera y una F si es falsa.

2. Sea $A=\left\{ x/x\in \mathbb{R}\land x<7 \right\} $. Identifique cada uno de los siguientes casos como verdadero o falso.

3.    En cada parte, escriba un conjunto por extensión con las letras de cada palabra.

a. condecoraciones b.   pacifismo c.   fundamentalismo

4. En cada caso, forme un conjunto listando sus elementos

a. El conjunto de todos los enteros positivos que son menores que diez

b.  $\left\{ x/x\in \mathbb{Z}\land x^2<12 \right\} $

5. En cada caso, escriba el conjunto por comprensión

a. {2, 4, 6, 8, 10}

b. {a, e, o}

c. {1, 8, 27, 64, 125}

d. {-2, -1, 0, 1, 2}

6. Sea A={1, 2, 3, 4, 5}. Marque con una X sobre la letra que antecede a cada conjunto si es igual a A.

a. {4, 1, 2, 3, 5}

b. {2, 3, 4}

c. {1, 2, 3, 4, 5, 6}

d.     $\left\{ x/x\in \mathbb{Z}\land x^2\leqslant 25 \right\} $

e.     $\left\{ x/x\in \mathbb{Z}^+\land x\leqslant 5 \right\} $

f.      $\left\{ x/x\in \mathbb{Z}\land x\leqslant 6 \right\} $

7. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son vacíos?

8. Haga una lista de todos los subconjuntos de {a, b}

9. Haga una lista de todos los subconjuntos de {java, c++, c}

10. Utilice el diagrama de Venn adjuntos para identificar si la proposición es verdadera o falsa.