Sucesiones

Algunos conjuntos importantes se originan en relación con las sucesiones. Una sucesión es simplemente una lista de objetos ordenados: Un primer elemento, un segundo elemento, un tercer elemento, y así sucesivamente. Dicha lista puede finalizar después de n pasos, donde  , o puede continuar indefinidamente. En el primer caso se dice que la sucesión es finita, y en el segundo caso, la sucesión es infinita. Los elementos pueden ser todos diferentes o algunos estarán repetidos.

 

Ejemplos:

a) 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1 es una sucesión finita

b) 3, 8, 13, 18, 23,… es una sucesión infinita

c) 1, 4, 9, 16, 25, … es una sucesión infinita y corresponde a la lista de los cuadrados de los números naturales

 

Puede ocurrir que la secuencia de términos de una sucesión no quede claramente definida por los primeros términos que la conforman y también es útil conocer una forma corta de especificar una sucesión. Existen dos clases de fórmulas para determinar una sucesión. En el ejemplo b) una descripción natural de la sucesión consiste en indicar que los términos consecutivos se forman su- mando 5 al término anterior. Si empleamos un subíndice para indicar la posición de cada término de una sucesión, puede describirse dicha sucesión de la siguiente manera:

Una fórmula como la anterior, que se refiere al término anterior, para definir el siguiente término, se llama recursiva o recurrente. Toda fórmula recursiva debe tener un punto de partida.

 

La descripción de la sucesión del ejemplo c) sería: $b_n=n^2, 1\leqslant n<\infty $. A las fórmulas de este tipo se les llama explícitas, porque indican exactamente qué valor tiene cualquier término en particular.

 

Ejemplos:

d) La fórmula recursiva $c_1=5, c_n=2c_{n-1}, 2\leqslant n\leqslant 6$  define la sucesión finita: 5, 10, 20, 40, 80, 160.

e) La sucesión infinita 3, 7, 11, 15, 19, 23, … puede definirse por la fórmula recursiva

  $d_1=3, d_n=d_{n-1}+4$

f) La fórmula explícita   describe la sucesión infinita:  

     -4, 16, -64, 256, …

g) La sucesión finita: 87, 82, 77, 72, 67 puede definirse por la fórmula explícita,

$t_n=92-5n, 1\leqslant n\leqslant 5$

 

CONJUNTO CORRESPONDIENTE A UNA SUCESIÓN

Está constituido por todos los elementos distintos de la sucesión. En una sucesión el orden de los elementos es importante, sin embargo, el orden en que se enlisten los elementos en el conjunto carece de significado.

 

Ejemplos:

a) El conjunto correspondiente a los elementos del ejemplo c) es {1, 4, 9, 16, 25, …}

b) El conjunto correspondiente a los elementos del ejemplo a) es {0, 1}

 

REPRESENTACIÓN EN COMPUTADORA DE CONJUNTOS Y SUBCONJUNTOS

Si A es un subconjunto de un conjunto universal U, la función característica fA de A se define como sigue:

Para representar un conjunto en una computadora, debe disponerse los elementos del conjunto en una sucesión. Cuando un conjunto universal U es finito y A es subconjunto de U, entonces la función característica asigna un 1 a los elementos que pertenecen a A y 0 a los que no pertenecen a A. Así f A puede ser representada por una sucesión de ceros y unos de longitud n.

 

Ejemplo:

Sea $U=\left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\} , A=\left\{ 1,2 \right\} , B=\left\{ 2,4,6 \right\} ,C=\left\{ 4,5,6 \right\} $. Entonces

 

Ejercicios

1.      En cada caso escriba el conjunto correspondiente a la sucesión.

a.       2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1

b.      0, 2, 4, 6, 8, 10, …

c.       aabbccddee…zz

d.      abbcccdddd

 

2.      En cada caso, escriba los cuatro primeros términos (comience con n=1) de la sucesión cuyo término general se da

\[\begin{align*} a. \quad &a_n=5^n \\ b. \quad &3n^2+2n-6 \\ c. \quad &c_1=2,5, c_n=c_{n-1}+1,5 \\ d. \quad &d_1=-3, d_n=-2d_{n-1}+1 \end{align*}\]

3.      En los ejercicios, escriba una fórmula para el término de orden n de la sucesión. Identifique su fórmula como recursiva o explícita.

a.       1, 3, 5, 7, …

b.      0, 3, 8, 15, 24, 35, …

c.       1, -1, 1, -1, 1, -1, …

d.      0, 2, 0, 2, 0, 2, …

e.       1, 4, 7, 10, 13, 16

f.          1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,...

 

4.      Escriba una fórmula explícita para la sucesión 2, 5, 8, 11, 14, 17, …

 

5.      Escriba una fórmula recursiva para la sucesión 2, 5, 8, 11, 14, 17, …

  

6.      Sean U = {Fortran, Pascal, Ada, Cobol, Lisp, Basic, C++, Forth}, B = { C++, Basic, Ada}, C = {Pascal, Ada, Lisp, C++}, D = { Fortran, Pascal, Ada, Basic, Forth}, y E = { Pascal, Ada, Cobol, Lisp, C++}. En cada uno de los siguientes casos, represente el conjunto dado por un arreglo de ceros y unos.

\[\begin{align*} &a. \quad B\cup C \\ &b. \quad C\cap D \\ &c. \quad B\cap (D\cap E) \\ &d. \quad C\cap (D\cap E) \end{align*}\]

7.      Sea U = {b, d, e, g, h, k, m, n}, B = {b}, C = {d, g, m, n}, y D = {d, k, n}

a.       Represente fB , fC , fD

b.      Represente  como arreglos binarios

\[B\cup C, C\cup D\,\,y\,\,C\cap D\]