Inducción matemática
INDUCCIÓN MATEMÁTICA
G. Peano (1858 –1932) propuso cinco propiedades fundamentales que caracterizan a los números naturales, Axiomas de Peano. Una de ellas conocida como el Principio de Inducción Matemática es actualmente una herramienta de uso práctico y teórico principalmente para matemáticos y personas que trabajan en Ciencias Computacionales.
El principio lo enunciaremos para los enteros positivos N+, pero bien se puede ampliar a los números naturales o a cualquier subconjunto de los enteros mayores o iguales a un entero fijo.
PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA
Si S en un conjunto de enteros positivos tal que
entonces S contiene todos los enteros positivos.
En un principio de Inducción Matemática son muy importantes los nombres asociados y en la literatura técnica, como es costumbre, no se presenta con detalle los pasos, por lo que resulta indispensable conocer la nomenclatura.
Nomenclatura de Inducción Matemática.
(B) se llama Caso Base o caso inicial
(I) se llama Paso de Inducción
$k\in S$ se llama Hipótesis de Inducción
Y como ya se mencionó todo junto se llama Principio de Inducción Matemática.
Es importante que el alumno comprenda y memorice cada uno de estos conceptos y su participación directa en la propiedad.
Esencialmente lo que enuncia el principio de inducción matemática es, si logramos establecer que el primer entero positivo cumple, una propiedad, y si partiendo de que un entero arbitrario también la cumple, se puede comprobar que el entero siguiente también tiene la propiedad entonces concluimos que todos los enteros positivos tienen la propiedad indicada.
Por lo que otra forma de enunciar el Principio de Inducción Matemática es:
Si F(n) es una proposición abierta que involucra enteros y se tiene:
(B) F(1) es verdadera; o sea, se que cumple para n=1
(I) $F\left( k \right) \Longrightarrow F\left( k+1 \right) $; Si se cumple para n = k entonces también se cumple para n=k+1.
Concluimos que la proposición es verdadera para todos los enteros positivos.
El Principio de Inducción Matemática se utiliza para demostrar propiedades, formulas, validarlas y probar que son verdaderas, usualmente en el conjunto de los números enteros positivos. Muchas propiedades que incluyen la definición de factorial se pueden probar por Inducción Matemática, como el Teorema del Binomio de Newton, el Triángulo de Pascal y algunas propiedades de combinatoria que involucran combinaciones y permutaciones. Otra forma de utilizarla es para proporcionar definiciones y formalizar conceptos.
ALGORITMO. Para demostrar una igualdad F(n) algebraica válida que involucra enteros donde la parte izquierda es una suma cuyo término n-ésimo es una fórmula de n.
[Fórmula] Escribir la fórmula en función de n, sea F(n).
[Caso Base] Probar la fórmula para n=1, F(1).
[Meta] Escribir la fórmula para n=k+1, F(k+1).
[Paso de Inducción]
[Hipótesis de Inducción] Escribir la fórmula para n=k.
[Llegar a la Meta] Sumar a ambos lados el último término de la parte izquierda de la [Meta], o sea la igualdad para n=k+1.
Aplicar propiedades algebraicas al lado derecho hasta llegar al lado derecho de la [Meta], o sea la igualdad para n=k+1.
Nota: Cabe aclarar que la única dificultad se puede presentar en el manejo algebraico de las expresiones en la segunda parte del Paso de Inducción y que depende muchas veces de la complejidad de la expresión y de la habilidad algebraica de quien realiza la prueba.
Nota: La meta la marcamos con rojo para indicar que no es un paso válido en la demostración, sino más bien una guía de a dónde queremos llegar y para tener una mejor idea de lo que estamos demostrando.
En los ejemplos que se vean se debe considerar expresiones que se puedan resolver con la preparación de los estudiantes a los que va dirigido.
Ejemplos:
Demuestre por inducción matemática, que para todos los valores de:
Solución:
El primer sumando es divisible por a+1 por hipótesis, y el segundo lo es porque contiene a (a+1) como factor.
Por consiguiente, $a^{2n}-1$ es divisible por (a+1), para todo n>0
EJERCICIOS:
Demuestre por inducción matemática en cada caso:
