Áreas de polígonos

Áreas de cuadriláteros

 

Área de un rectángulo. Se obtiene multiplicando la base por la altura:


A = base x altura

Área de un cuadrado. Se obtiene multiplicando el valor del lado por si mismo.

 

A = lado x lado = lado2

 

 

Área de un romboide. Se obtiene a partir del área del rectángulo, multiplicando la base por la altura del romboide (no por el oro lado). 

 

A = base x altura

 

Área de un rombo. A partir de un rombo se puede construir un rectángulo como se puede observar en el gráfico de la izquierda. La base coincide con una de las diagonales y la altura con la mitad de la otra.

 

 Área de un trapecio. Los trapecios respecto a sus ángulos internos, pueden ser rectángulos, isósceles o escalenos:

 

Trapecio rectángulo es el que tiene un lado perpendicular a sus bases. En la imagen derecha.

 

Tiene dos ángulos internos rectos, uno agudo y otro obtuso.

 

Trapecio isósceles es el que tiene los lados no paralelos de igual medida. Tiene dos ángulos internos agudos iguales sobre una base y dos ángulos internos obtuso iguales en la otra base.

 

Sus ángulos internos opuestos son suplementarios, es decir, la suma es {\displaystyle 180^{\circ }}180° y por tanto es inscribible.

 

Trapecio escaleno es el que no es isósceles ni rectángulo. En él sus lados no paralelos tienen longitudes diferentes. Sus cuatro ángulos internos son diferentes.

 

El área A de un trapecio es igual a la semisuma de las bases por la altura:

\[A = \frac{(Base + base) \cdot Altura}{2}\]

Áreas de triángulos 

 

Para entender cómo se calcula el área de un triángulo cualquiera, se coloca el triángulo invertido como se muestra en la figura de la derecha. Se obtiene un romboide de área igual a dos veces la del triángulo, la misma base y la misma altura. 

\[A = \frac{Base \cdot Altura}{2}\]

Fórmula de Herón

 

La fórmula de Herón permite calcular el área de un triángulo del cual se conocen todos sus lados. El área se calcula a partir del semiperímetro del triángulo s y de la longitud de los lados (a, b y c).

\[\begin{align*} s = & a + b +c \\ A_{\Delta }= & \sqrt{s\left ( s-a \right )\left ( s-b \right )\left ( s-c \right )} \end{align*}\]

 Áreas de polígonos regulares 

 

Para calcular el área de un polígono regular cualquiera se divide en triángulos uniendo el centro con cada uno de los vértices.

 

Obsérvese que el pentágono está dividido en cinco triángulos congruentes, esto es el área del pentágono es igual a la suma de las áreas de los cinco triángulos congruentes. Lo cual se puede representar de la siguiente manera:

 Áreas de polígonos irregulares 

 

Para calcular el área de un polígono irregular cualquiera debemos basarnos en métodos indirectos. Estos métodos, básicamente, son tres: el llamado método de triangulación, el uso de una trama cuadriculada o, en algunos casos, descomponer el polígono en cuadriláteros conocidos, para luego sumar las áreas de las partes en que se descompuso el polígono.

 

Triangulación del polígono irregular

 

Sea P un polígono irregular. Se desea calcular su área (A).

 

El método de triangulación consiste en dividir el polígono en figuras más fáciles de calcular el área. En este caso se divide en n triángulos y el área del polígono será la suma del área de esos n triángulos.

 

 Se divide el polígono en N triángulos (T1, T2, T3,…, TN) . Estos triángulos cumplen que uno de sus lados es un lado del polígono y que todos confluyen en un mismo punto interior.

Se trazan las alturas (h1, h2,…, hN) de los triángulos y se determina sus medidas. La altura de cada triángulo será el segmento de recta perpendicular al lado del polígono que va desde el punto central hasta ese lado del polígono.

 

Se calculan las áreas de los N triángulos. El área del primer triángulo es:

 

\[A=\frac{\overline{AB}\cdot h1}{2}\]

Utilizamos la misma fórmula para calcular el área de los otros N-1 triángulos.  

Sumamos las N áreas y obtenemos el área del polígono irregular:

\[A_{Polígono} = \sum_{k=1}^{k=n}A_{\Delta 1}+A_{\Delta 2}+A_{\Delta 3}+...+A_{\Delta n}\]

Determinante de Gauss

 

Otra forma de hallar el área de cualquier polígono irregular es utilizando el determinante de Gauss.

 

Para ello requerimos las coordenadas de cada uno de los vértices del polígono en el plano cartesiano.

 

Se elige al azar cualquiera de los vértices y siguiendo en sentido contrario a las manecillas del reloj se colocan los pares en la siguiente fórmula, teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponde al vértice elegido y, después de recorrer en sentido antihorario todos los vértices, el último par debe volver a ser el par inicial.

Sean los vértices del polígono: (x1,y1), (x2,y2),…, (xn,yn). La fórmula es la siguiente:

Este método es válido para cualquier polígono con cualquier número de lados, tanto en el caso de polígonos cóncavos como los convexos.

 

El cálculo de un determinante 2 x 2 es igual al resultado de multiplicar los elementos de la diagonal 1 y restarlo del resultado de multiplicar los elementos de la diagonal 2.

\[\begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2}\\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{vmatrix} =a_{1,1} \cdot a_{2,2} - a_{1,2} \cdot a_{2,1}\]

 Ejemplos
1. Un campo deportivo rectangular tiene 110 m de base y 68 m de altura. Calcular:
• El área que tiene.
• El precio del campo si el metro cuadrado cuesta 15000 U.M.
Solución:

\[\begin{align*} A = & base \cdot altura \\ A = & 110 \cdot 68 \\ A = & 7480 m^{2} \\ \\ P = & 7480 \cdot 15000 \\ P = & 112 200 000\ U.M. \end{align*}\]

 R.\ El campo tiene un área de 7480 m2 y el valor según el precio establecido es de 112 200 000 U.M.


 2. El área de un trapecio es 120 m², la altura 6 m, y la base menor mide 8 m. ¿Cuánto mide la otra base?
Solución:

\[\begin{align*} A = & \frac{\left ( Base + base \right ) \cdot Altura}{2} \\ 120 = & \frac{\left ( x + 8 \right ) \cdot 6}{2} \\ 120 \cdot 2 = & 6x + 48 \\ 240 = & 6x + 48 \\ 6x = & 240 - 48 \\ 6x = & 192 \\ x = & 192 \over 6 \\ x = 32 \end{align*}\]

 

R.\ La base mayor mide 32 m.


3. ¿Calcular el área de la región sombreada en azul en la figura adjunta, sabiendo que el perímetro del hexágono regular es 60 m?

Solución:

 

Si el perímetro del hexágono mide 60 m, entonces cada lado mide 10 m.

Los seis triángulos en que se descompone un hexágono regular son equiláteros de manera que los lados de los triángulos miden también 10 cm.

Calculamos el área de uno de los triángulos, como desconocemos la media de la altura aplicamos la fórmula de Herón:


\[\begin{align*} s = & \frac{P}{2} \\ s = & \frac{30}{2} \\ s = 15 \\ A = & \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ A = & \sqrt{15(15-10)(15-10)(15-10)} \\ A = & \sqrt{15 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5} \\ A = & \sqrt{1875} \\ A = & 43,30 m^{2} \\ \\ A_{Sombreada} = & 43,30 \cdot 3 \\ A_{Sombreada} = & 129,90 m^{2} \end{align*}\]

R.\ El área de la región sombreada es 129,90 m2.

 

4. Se ha medido un terreno de forma poligonal cóncava, el encargado de la medición presenta la forma y vértices del polígono en un plano cartesiano como se muestra a continuación.  Determinar el área del terreno si en la escala utilizada 1 cm corresponde a 100m (1:100).
Solución:

 

 

 

 

Como se conocen las coordenadas de cada vértice, utilizaremos el sistema de determinantes:

 

\[\begin{align*} A = & \frac{1}{2}\left ( \begin{vmatrix} 2 & 2\\ 6 & 4 \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} 6 & 4\\ 8 & 2 \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} 8 & 2\\ 10 & 6 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 10 & 6\\ 4 & 8 \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} 4 & 8\\ 2 & 2 \end{vmatrix} \right )\\ A = & \frac{1}{2} \left( 8 - 12 + 12 -32 +48 - 20+80-24+8-16 \right ) \\ A = & \frac{1}{2} \cdot 52 \\ A = & 26 u \\ Escala\ 1:100 \\ \therefore A = & 26 \cdot 100 \\ A = & 2600 (ul)^{2} \end{align*}\]

Ejercicios

  1. Para enmarcar un cuadro cuyas dimensiones totales son 92 cm de base por 60 cm de alto. ¿Qué longitud deberá tener la moldura que debemos usar? Si la moldura cuesta a 702 UM el metro, calcula el precio de dicho marco. 
  2. En una ciudad hay un parque cuya forma es la de un pentágono irregular. Los lados miden respectivamente, 42, 33, 29, 11 y 49 metros. ¿Cuánto mide el perímetro de ese parque?
  3. Para confeccionar una vela triangular nos cobran 5210 um por m2. ¿Cuánto costará esa nueva vela si debe tener 9 m de alto y 4 m de base?
  4.  Determinar el área de una cometa con forma de rombo, cuyas diagonales miden 393 cm y 205 cm respectivamente.
  5.  Una fábrica sombrillas para la playa, usa tela cortada en forma de polígono regular. Calcula la cantidad de tela que necesitará para fabricar 40 sombrillas de 8 lados si sabemos que el lado mide 80cm y su apotema mide 96,57 cm.
  6.  Calcula el número de baldosas cuadradas, de 10 cm, de lado que se necesitan para enlosar una superficie rectangular de 4 m de base y 3 m de altura.
  7.  Hallar el área de un triángulo rectángulo isósceles cuyos lados miden 15 cm cada uno.
  8.  El perímetro de un triángulo equilátero mide 18 m y la altura mide 4,24 m. Calcula el área del triángulo.
  9.  Calcula el número de árboles que pueden plantarse en un terreno rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho si cada planta necesita para desarrollarse 4 m².
  10.  Calcular el área de un paralelogramo cuya altura mide 2 cm y su base mide 3 veces más que su altura.
  11.  Calcula el área de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya diagonal menor es la mitad de la mayor.
  12.  Calcular el perímetro de un hexágono cuya área es 346,1 m2 y su apotema mide 10 m.
  13.  Hallar el área y el perímetro de un hexágono cuyo radio mide 5 m y su apotema mide 4,3 m.

14.    Si tenemos un terreno de forma poligonal irregular como el que muestra la figura. ¿Cuál es su área si la escala utilizada es 1:50 (1cm representa 50m)?

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