Triángulos

Se llama triángulo, en geometría plana al polígono de tres lados. Los puntos comunes a cada par de lados se denominan vértices del triángulo.


Un triángulo tiene tres ángulos internos, tres pares de ángulos externos, tres lados y tres vértices entre otros elementos.
Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.

 

 

Definición: Un triángulo es una porción del plano limitada por tres rectas, que se cortan una a una en tres puntos denominados los vértices del triángulo.


Se denotan los vértices del triángulo con letras mayúsculas y cada lado opuesto a ese vértice con la letra del vértice opuesto pero minúscula.

 

Clasificación de los triángulos
Por sus lados

 

 

 

Triángulo equilátero

Tiene tres lados iguales

 

 

 

Triángulo isósceles

Tiene dos lados iguales

 

 

Triángulo escaleno

Sus tres lados son diferentes

Por sus ángulos

 

 

Triángulo rectángulo

Es el que tiene un ángulo recto (mide 90°)

 

 

Triángulo acutángulo

Es aquel triángulo que tiene sus tres ángulos agudos.

 

 

Triángulo obtusángulo

Es aquel triángulo que tiene un ángulo obtuso.

Rectas y puntos notables en un triángulo
Algunas rectas y puntos con características particulares en un triángulo son las siguientes:

 

Altura:  Es el segmento perpendicular a cualquier lado del triángulo desde el vértice opuesto a ese lado.


Ortocentro:  Es el punto de intersección de las alturas de un triángulo.

 

Mediana: Es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.


Baricentro:  Es el punto de intersección de las medianas de un triángulo.

 

Bisectriz:  Es la recta que divide un ángulo en dos ángulos congruentes.


Incentro: Es el punto de intersección de las bisectrices de un triángulo.

 

Mediatriz: Es la recta perpendicular al lado de un triángulo, que además pasa por el punto medio de ese lado.


Circuncentro:  Es el punto de intersección de las mediatrices de un triángulo.

 

Propiedades de los triángulos
Teorema 1: En cualquier triángulo, la suma de los ángulos internos es igual a 180°.
Demostración:

 

 

Se traza una recta paralela al segmento AB que pasa por el vértice C.


Los ángulos d, c y e son suplementarios porque forman un ángulo llano, por lo tanto:

\[\angle d+\angle +\angle e=180°\]

 

Luego los siguientes pares de ángulos son congruentes entre sí por ser ángulos alternos internos entre paralelas:

\[\begin{align*} \angle d &\cong \angle b\\ \angle a &\cong \angle e \end{align*}\]

 

Sustituyendo en la identidad (1), obtenemos:

\[\angle b+\angle c+\angle a=180°\]

 

Teorema 2: En cualquier triángulo, un ángulo exterior del triángulo es igual a la suma de los dos ángulos internos del triángulo, no adyacentes a él.
Demostración:

 

 

Los ángulos internos del triángulo suman 180°,

 

Luego los ángulos C y E son suplementarios porque forman un ángulo llano, por lo tanto se tiene que:

 

 

\[\begin{align*} \angle A+\angle B+\angle C &= 180° \\ \angle C+\angle E &= 180°\\ Igualando\\ \angle A+\angle B+\angle C &=\angle C+\angle E \\ \angle A+\angle B &=\angle C+\angle E -\angle C \\ \angle A+\angle B &=\angle E \end{align*}\]

Teorema 3: En cualquier triángulo, la suma de los ángulos externos al triángulo es igual a 360°.
Demostración:

 

 

 

Por teorema 2, sabemos que:

\[\begin{align*} \angle BCD &= \angle A+\angle B \\ \angle CAE &= \angle B+\angle C \\ \angle ABF &= \angle A+\angle C \\ \angle BCD + \angle CAE + \angle ABF &= \angle A+\angle B +\angle B+\angle C +\angle A+\angle C \\ \angle BCD + \angle CAE + \angle ABF &= 2\angle A+2\angle B+2\angle C \\ \angle BCD + \angle CAE + \angle ABF &= 2\left ( \angle A+\angle B +\angle C \right ) \\ \angle BCD + \angle CAE + \angle ABF &= 2\cdot 180° \\ \angle BCD + \angle CAE + \angle ABF &= 360° \end{align*}\]

 

Teorema 4: De la desigualdad triangular. La suma de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo es mayor que el tercer lado.

\[\begin{align*} \overline{AC}+\overline{BC}&> \overline{AB} \\ \overline{AB}+\overline{AC}&> \overline{BC} \\ \overline{AB}+\overline{BC}&> \overline{AC} \\ \end{align*}\]

 

Teorema 5: Si dos lados de un triángulo no son congruentes, al mayor lado se opone el mayor ángulo.

\[Si\ \overline{AC}> \overline{BC} \Rightarrow \angle B>\angle A\]

 

Teorema 6: Si dos ángulos de un triángulo no son congruentes, a mayor ángulo se opone mayor lado.

\[Si\ \angle C>\angle A \Rightarrow \overline{AB}> \overline{BC}\]

 

Ejemplos:
1. Calcular el valor de los ángulos del siguiente triángulo si sabemos que:

\[m\angle A=3x,\ m\angle C=2x,\ m\angle B=x\]

Solución:

Sabemos que la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es 180°, por lo tanto:

 

\[\begin{align*} \angle A+\angle B+\angle C&=180° \\ 3x+x+2x &= 180° \\ 6x &= 180° \\ x &= \frac{180°}{6} \\ x &= 30° \\ Luego \\ \angle A &= 90° \\ \angle B &= 30° \\ \angle C &= 60° \end{align*}\]

2. Calcular el valor de los ángulos del siguiente triángulo, sabiendo que:

     m<A = 37° y m<E = 128°.

 

Solución:


Los ángulos B y E forman un ángulo llano por lo que la suma de ambos es 180°.
Si m<E = 128°, entonces se tiene que:

 

\[\begin{align*} \angle B+\angle E &= 180° \\ \angle B+128° &= 180° \\ \angle B &= 180° - 128° \\ \angle B &= 52° \end{align*}\]

 

Los ángulos A, B y C son ángulos internos de un triángulo por lo que la suma es igual a 180°, en consecuencia:

 

\[\begin{align*} \angle A+\angle B + \angle C &= 180° \\ 37°+52° + \angle C &= 180° \\ \angle C &= 180° - 37° - 52° \\ \angle C &= 91° \end{align*}\]

 

Los ángulos C y D forman un ángulo llano por lo que la suma de ambos es 180°.
Si m<C = 91°, entonces se tiene que:

 

\[\begin{align*} \angle C+\angle D &= 180° \\ 91° + \angle D &= 180° \\ \angle D &= 180° - 91° \\ \angle D &= 89° \end{align*}\]

 

Los ángulos A y F forman un ángulo llano por lo que la suma de ambos es 180°.
Si m<A = 37°, entonces se tiene que:

 

\[\begin{align*} \angle A+\angle F &= 180° \\ 37° + \angle F &= 180° \\ \angle F &= 180° - 37° \\ \angle F &= 143° \end{align*}\]

 

Ejercicios:


1. En el triángulo de la figura, m<A = x, m <C = 3x y m<B = x-10. 

 

Hallar:
a)   El valor de los ángulos internos A, B y       C.
b)  El valor de los ángulos externos BCD,        ABF y CAE.

 

2. Las medidas de los ángulos internos de un triángulo corresponden a tres números pares     consecutivos.  ¿Cuál es el valor de cada ángulo?

 

3.  Calcular la medida de los ángulos                externos del siguiente triángulo

     sabiendo que:

     m<ABF = 135°, m<CAE = x y

     m<BCD = x-15.

 

4. En un triángulo isósceles, la medida de uno de los ángulos congruentes es el doble de

    la  medida del ángulo opuesto al lado menor.  ¿Cuál es la medida de cada uno de los

    ángulos de ese triángulo?

 

5. En la figura AC es bisectriz del ángulo

    BAD, m<ADF = 135°, m<BAC = x

    y m<ACD = 3x + 15. 

    Obtener las medidas de los ángulos

    internos de los triángulos ACB y ADC.

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