Teorema de Pitágoras

Antes de enunciar el teorema de Pitágoras es importante saber que:

Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir su medida es de 90º.
En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

Teorema:

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

Para demostrarlo utilizaremos la siguiente figura.

En el cuadrado de lado (b + c), tenemos inscritos 4 triángulos rectángulos cuya hipotenusa es a y los catetos son b y c. Así mismo también completa el área del primer cuadrado un cuadrado inscrito de lado a.

Demostración:

El área del cuadrado de lado (b + c) está dada por la fórmula:

\[\left(b+c\right)\left(b+c\right)=b^2+2bc+c^2\left(1\right)\]

Luego el área anterior debe ser igual a la suma de las áreas de las cinco figuras inscritas en el interior del cuadrado:

El área del cuadrado de lado a es:

\[a \cdot a = a^2\ (2) \]

El área de cada triángulo rectángulo está dada por:

\[\begin{align*} &\frac{b\ \cdot c}{2}\ &(3) \\ 4\left ( \frac{b \cdot c}{2} \right ) &= 2bc\ &(4) \\ \end{align*}\]

Luego igualando el resultado de la ecuación (1) y los resultados (2) + (4), se tiene:

\[\begin{align*} \left ( b+c \right )^2 &= a^2+2bc \\ b^2+2bc+c^2 &= a^2+2bc \\ b^2+2bc+c^2-2bc &= a^2 \\ a^2 &= b^2+c^2 \end{align*}\]

Con lo que queda demostrado el teorema de Pitágoras.

Ejemplos
1. Se quiere colocar un cable desde la cima de una torre de 35 metros de altura hasta un punto situado a 75 metros de la base la torre. ¿Cuánto debe medir el cable?
Solución:

\[\begin{align*} c^2 &= a^2 + b^2 \\ c^2 &= 35^2+75^2 \\ c &= \sqrt{1225+5625} \\ c &= \sqrt{6850} \\ c &= 82,7647 \end{align*}\]

R./ El cable debe medir 82,7647 metros.

2. Calcular el área del triángulo cuyos vértices son A(3, 3), B(5,1) y C(1,-2).

Solución:

Desconocemos las medidas de los lados del triángulo ABC.
Utilizando el sistema cartesiano construiremos dos triángulos rectángulos auxiliares para obtener las medidas de dos de los lados del triángulo original.

Tenemos:
1. Los triángulos de las líneas discontinuas son triángulos rectángulos.
2. Los catetos del triángulo ADC, miden 6 ul y 2 ul.
3. Los catetos del triángulo BEC, miden 4 ul cada uno.
4. Ahora calcularemos las hipotenusas de los triángulos auxiliares, que son a su vez la hipotenusa y un cateto del triángulo ABC.

\[\begin{align*} \Delta ADC \\ b^2 &= f^2 + g^2 \\ b^2 &= 2^2+6^2 \\ b &= \sqrt{4+36} \\ b &= \sqrt{40} \\ b &= 2 \sqrt{10} \end{align*}\]

\[\begin{align*} \Delta BCE \\ a^2 &= h^2 + i^2 \\ a^2 &= 4^2+4^2 \\ a &= \sqrt{16+16} \\ a &= \sqrt{32} \\ a &= 4 \sqrt{2} \end{align*}\]

\[\begin{align*} \Delta ABC \\ b^2 &= a^2 + c^2 \\ \left ( 2 \sqrt{10} \right )^2 &= \left ( 4 \sqrt{2} \right )^2+c^2 \\ c^2 &= 32+40 \\ c &= \sqrt{72} \\ c &= 6 \sqrt{2} \end{align*}\]

\[\begin{align*} Área\ \Delta ABC \\ A &= \frac{base \cdot altura}{2} \\ A &= \frac{a \cdot c}{2} \\ A &= \frac{4 \sqrt{2} \cdot 6 \sqrt{2}}{2} \\ A &= \frac{24 \cdot 2}{2} \\ A &= 24 (u.a.) \end{align*}\]

R./ El área del triángulo ABC es 24 unidades de área.

Ejercicios:
1. ¿A qué altura está la cometa de Carlos si la cuerda mide 10 metros y tendría que moverse 8 metros para situarse debajo de ella?

2. ¿Cuál es el área de un terreno cuadrado si la diagonal mide 200 m.?

3. Una torre de 19 metros de altura se encuentra sujeta por dos cables de 21m y 25m respectivamente. En la figura se pide calcular la distancia AB.

4. Desde la parte más alta de un faro de 60m de altura se observa un bote a una distancia de 130m. Se pide hallar la distancia desde el pie del faro hacia el bote.

5. Calcular el lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 5cm de radio.

6. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 18 cm. Uno de los catetos mide 12 cm. ¿Cuánto mide el otro cateto?

7. Una torre de 20 m de altura está sujeta por un cable de seguridad fijado al suelo a 8 m de la base de la torre. Calcular la longitud del cable.

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