Semejanza de triángulos

Dos triángulos se dicen ser semejantes si tienen la misma forma, aunque no necesariamente igual tamaño.  Los lados homólogos de dos triángulos semejantes son aquellos que son adyacentes a cada uno de los ángulos congruentes, es decir son los lados correspondientes.

Los lados homólogos de los triángulos de la figura son: a y f, c y d y b y e respectivamente. Los ángulos homólogos son: <B y <E, <A y <F y <C y <D respectivamente.
Simbólicamente en matemáticas indicamos de la siguiente manera que dos triángulos son semejantes:

\[\Delta ABC \sim \Delta FED\]

 

Que se lee: El triángulo ABC es semejante al triángulo FED.


Propiedades fundamentales
1.  Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales:

\[\begin{align*} \angle A &= \angle F \\ \angle B &= \angle E \\ \angle C &= \angle D \end{align*}\]

 

2. Dos triángulos son semejantes si la razón de sus lados correspondientes es constante.  Dicho de otra forma, sus lados correspondientes son respectivamente proporcionales.

 

\[\frac{\overline{AB}}{\overline{FE}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{ED}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{FD}}\]

Ejemplos:
1. Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 5,6 m en el mismo instante que un poste de 7,5m proyecta una sombra de 1,2 m.

\[\begin{align*} \Delta ABE &\sim \Delta FGH \\ \frac{\overline{AB}}{\overline{FG}} &= \frac{\overline{AE}}{\overline{FH}} \\ \frac{a}{7,5} &= \frac{5,6}{1,2} \\ 1,2 a &=7,5 \cdot 5,6 \\ a &= \frac{42}{1,2} \\ a &= 35m \end{align*}\]

Teoremas de semejanza
Teorema 1.
Dos triángulos son semejantes si tienen dos pares de ángulos homólogos.

 

\[Si\ \angle A = \angle D\ y\ \angle C = \angle E \Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta DFC\]

 

Teorema 2.
Dos triángulos son semejantes si tienen un par de ángulos homólogos, y los lados correspondientes que incluyen cada ángulo son proporcionales.

 

\[Si\ \angle B \cong \angle E\ y\ \frac{\overline{AB}}{\overline{DE}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{EF}} \Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta DEF\]

 

Teorema 3.
Dos triángulos son semejantes si los tres pares de lados correspondientes son proporcionales.

 

\[Si\ \frac{\overline{AB}}{\overline{DE}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{DF}} =\frac{\overline{BC}}{\overline{EF}} \Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta DEF\]

 

Ejemplos:
1. La sombra de una torre eléctrica mide 10 m y en el mismo instante, la sombra de una persona mide 1,5 m. Si la estatura de esa persona es de 1,8 m, ¿cuál es la altura de la torre?
Solución:
Los triángulos formados por la torre y su sombra y por la persona y su sombra son semejantes, pues los rayos de sol son paralelos.

\[\begin{align*} \frac{\overline {AB}}{\overline{DE}} &= \frac{\overline {AC}}{\overline{DF}} \\ \frac{\overline {AB}}{1,8} &= \frac{10}{1,5} \\ \overline{AB}&= \frac{1,8 \cdot 10}{1,5} \\ \overline{AB}&= 12m. \end{align*}\]

R/. La altura de la torre es de 12m.

 

2. Determine si los triángulos de la imagen son semejantes (justifique su respuesta). Si hay semejanza determinar el valor de x.

Los triángulos son semejantes ya que tienen dos ángulos homólogos, además los lados opuestos al ángulo ϴ (correspondientes) son proporcionales. AB es proporcional a EF porque se oponen a ϴ y BC es correspondiente a DE por oponerse al ángulo α

\[\begin{align*} \frac{\overline {AB}}{\overline{EF}} &= \frac{\overline {BC}}{\overline{DE}} \\ \frac{15}{5} &= \frac{9}{x} \\ 15 \cdot x &= \frac{5\cdot 9}{15} \\ x &= \frac{45}{15} \\ x &= 3m. \end{align*}\]

R./ El valor del lado DE es 3m.

 

Ejercicios
1. En la figura, calcular el valor de AB.

2. El poste de un semáforo peatonal de 2m de altura proyecta una sombra, a la misma hora en que un edificio proyecta una sombra de 80 m.  Hallar la altura del edificio.

 

3. Los lados de un triángulo miden 24 m., 18m. y 36 m., respectivamente. Si los lados de otro triángulo miden 12m., 16 m. y 24 m., respectivamente. Determina si son o no semejantes, justificando tu respuesta.

 

4. Con los datos de la figura, obtener los valores de los lados EC y BC.

 

5. En la figura AB y CD son paralelas.  Determine el valor de x.

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