Circunferencia

Definición

La circunferencia es un conjunto de puntos equidistantes de un punto fijo llamado centro y cuya longitud representa el perímetro del círculo.

 

Círculo: Es la superficie limitada por una circunferencia.

 

Arco:  Es una sección o parte de una circunferencia.

 

 

Rectas notables en una circunferencia

Radio.  Se denomina así al segmento que une el punto fijo llamado centro con cualquier otro punto contenido en la circunferencia.

Cuerda.  Es un segmento que une dos puntos de la circunferencia, sin contener el punto central.

 

Diámetro. Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia, y pasando por el punto central.

 

Secante. Recta que pasa por dos puntos de la circunferencia.

 

Tangente.  Línea recta que tiene un único punto en común con la circunferencia.

\[\begin{align*} O: & Centro \\ \widehat{AE} : &Arco \\ \widehat{ED}: &Semicircunferencia \\ \overline{OA}: &Radio \\ \overline{DE}: &Diámetro \\ \overset\longleftrightarrow {BC}: &Secante \\ \overset\longleftrightarrow {HI}: &Tangente \\ \overline{GF}: &Cuerda \\ \overline{KJ}: &Sagita\ o\ flecha\\ T: &Punto\ de\ tangencia \end{align*}\]

Relaciones entre circunferencias y polígonos

Circunferencia inscrita. Una circunferencia inscrita a una región poligonal, es aquella que es tangente a los lados del polígono. 

 

De igual forma al polígono cuyos lados son tangentes a la circunferencia se le llama Polígono circunscrito.

 

Circunferencia circunscrita. Es la circunferencia que contiene los vértices del polígono.

 

De igual forma si los lados del polígono son cuerdas de la circunferencia, el mismo se denomina Polígono inscrito.

Ángulos en la circunferencia

Ángulo central.  Tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios. Determina un sector circular.

 

La medida del ángulo central es igual al arco comprendido entre sus lados.

 

 

 Ángulo inscrito. Es el que tiene su vértice en un punto de la circunferencia y sus lados son secantes.

 

La medida del ángulo inscrito es un medio del arco comprendido entre sus lados.

 

 Ángulo seminscrito. Es un ángulo que tiene su vértice en la circunferencia y uno de los lados es una tangente a la circunferencia y el otro es secante a la circunferencia.

 

La medida del ángulo semiinscrito es la mitad del arco comprendido por sus lados.

 

 Ángulo interior. Su vértice es un punto cualquiera en el interior de la circunferencia y sus lados están formados por dos cuerdas que se intersecan es ese punto.

 

La medida del ángulo interior es igual a la mitad de la suma de los arcos comprendidos por el ángulo mismo y el de su opuesto por el vértice.

 

 Ángulo exterior. Su vértice se encuentra en un punto en el exterior de la circunferencia y sus lados están comprendidos por dos secantes.

 

La medida de un ángulo exterior es igual a la mitad de la diferencia de los arcos comprendidos por el ángulo.

Ángulo circunscrito. Es el ángulo cuyos lados son dos tangentes a la circunferencia. 

 

La medida de un ángulo circunscrito es igual a la mitad de la diferencia de los arcos comprendidos.

Ejemplos:

Si m<B=46° ¿Cuánto mide el <AOC sabiendo que O es el punto central y equidistante a la circunferencia?

Solución:

El ángulo B es un ángulo inscrito, por lo tanto, su medida es la mitad del arco AC.

 

Puesto que O es el punto central, el ángulo AOC es un ángulo central y su medida será igual a la del arco que subtiende.

\[\begin{align*} O: & Centro \\ m \angle B = & \frac{1}{2}\widehat{AC}\\ 36° = & \frac{1}{2}\widehat{AC}\\ \overset{\frown}{AC} = & 36° \cdot 2 \\ \widehat{AC} = & 72° \\ \therefore m \angle AOC = & 72° \end{align*}\]

2. Si la medida del arco BC es 55°, determine los valores de los ángulos BAC y BAD, siendo A el punto central y DC diámetro de la circunferencia.

Solución: 

Puesto que A es un punto central, entonces el ángulo BAC es un ángulo central, cuya medida es igual a la del arco que subtiende que es BC.

 

Por lo tanto, m<BAC = 55°.

 

Al ser CD diámetro, los ángulos BAC y BAD forman un ángulo llano, es decir:

\[\begin{align*} m \angle BAC + m \angle BAD = & 180° \\ 55° + m \angle BAD = & 180° \\ m \angle BAD = & 180° - 55° \\ {m \angle BAD = 125°\displaystyle } \end{align*}\]

 3. En la figura adjunta A es punto central y DC es diámetro: medida del arco EC = 50°, medida del arco BC = 100° y medida del arco BD = 105°.

Hallar: las medidas de los ángulos: EBD, BEC, CDB y DAE.

Solución:

Si conocemos las medidas de los arcos EC, CB y BD entonces podemos obtener la medida del arco ED que completa la circunferencia.

\[\begin{align*} \widehat{EC}+\widehat{BC}+\widehat{BD}+\widehat{DE}= &360° \\ 50°+100°+105°+\widehat{DE}= &360° \\ \widehat{DE}= &360°-255° \\ \widehat{DE}= &105° \end{align*}\]

El ángulo EBD es un ángulo inscrito, por lo tanto, medirá la mitad del arco que subtiende, que es el arco DE.

\[\begin{align*} \angle EBD = & ? \\ \angle EBD = & \frac{1}{2}\widehat{DE} \\ \angle EBD = & \frac{1}{2} \cdot 105° \\ \angle EBD = & 52,5° \\ \angle EBD = & 52°\ 30' \end{align*}\]

El ángulo BEC es un ángulo inscrito, por lo tanto, medirá la mitad del arco que subtiende, que es el arco CB.

\[\begin{align*} \angle BEC = & ? \\ \angle BEC = & \frac{1}{2}\widehat{BC} \\ \angle BEC = & \frac{1}{2} \cdot 100° \\ \angle BEC = & 50° \\ \end{align*}\]

El ángulo CDB subtiende el mismo arco que el ángulo BEC, por lo tanto, son congruentes y su medida es 50°.

 

El ángulo DAE es un ángulo inscrito, por lo tanto, medirá la mitad del arco que subtiende, que es el arco DE.

\[\begin{align*} \angle DAE = & ? \\ \angle DAE = & \frac{1}{2}\widehat{DE} \\ \angle DAE = & \frac{1}{2} \cdot 105° \\ \angle DAE = & 52,5° \\ \angle DAE = & 52° \ 30' \end{align*}\]

 Ejercicios:

1. Determinar la medida de:


a. Un ángulo inscrito que subtiende un arco de 78°.
b. El arco que comprende un ángulo inscrito de 42°
c. Un ángulo interior cuyas prolongaciones forman dos arcos de 135° y 65° respectivamente.
d. El arco mayor que define un ángulo exterior que comprende otro arco de 50°, si el ángulo mide 20°.
e. El arco que subtiende un ángulo semiinscrito que mide 85°.

 

2.  En cada caso calcular lo que se solicita según la figura.



Teoremas

 

Teorema 1. 

 

Toda recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en su punto de tangencia.

 

$\overline{AB} \bot \overline{CD}$

Ejemplo. Una recta AB es tangente a una circunferencia de centro O en un punto P. Si el radio de la circunferencia es 5 cm y AP = 12 cm. Determine la medida del segmento OA.

 

Solución: Tenemos un triángulo rectángulo donde OA es la hipotenusa y sus catetos son OP que mide 5 cm y AP que mide 12 cm.  Aplicando el Teorema de Pitágoras:

\[\begin{align*} (OA)^2 = & (AP)^2+(OP)^2 \\ (OA)^2 = & 12^2+5^2 \\ (OA)^2 = & 144+25 \\ (OA)^2 = & 169 \\ OA = & \sqrt{169} \\ \overline{OA} = & 13cm \end{align*}\]

R.\ La medida del segmento OA es 13 cm.

 

Teorema 2.

 

La bisectriz perpendicular a una cuerda de una circunferencia, contiene el centro del círculo.

O: Centro de la circunferencia

 

$\overline{OD} \bot \overline{AC} \Rightarrow \overline{AD} \cong \overline{DC}$

Ejemplo. Una cuerda de 24 cm está a 9 cm del centro de una circunferencia. ¿Cuál es la medida del diámetro de la circunferencia?

 

Solución:

El segmento que biseca la cuerda y que contiene el centro del círculo mide 9 cm, la cuerda mide 12 cm por lo que el segmento AC mide 12 cm.  El triángulo OAC es rectángulo por Th. 2 y OA es la hipotenusa.

 

Aplicando Pitágoras.

\[\begin{align*} (OA)^2 = & (AC)^2+(OC)^2 \\ (OA)^2 = & 12^2+9^2 \\ (OA)^2 = & 144+81 \\ (OA)^2 = & 225 \\ OA = & \sqrt{225} \\ \overline{OA} = & 15cm \\ \overline{OA}\ es\ el\ radio\\ \therefore\ El\ diámetro\ mide\: 2 \cdot 15=& 30 cm. \end{align*}\]

R.\ La medida del diámetro es 30 cm.

Teorema 3.

 

a) En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes, las cuerdas equidistantes del centro son congruentes y viceversa. 

 

O: Centro de la circunferencia

 

$\overline{OE}\cong\overline{OF}\Leftrightarrow\overline{AB}\cong\overline{CD}$

 

b) En una circunferencia de cuerdas iguales se subtienden arcos iguales y viceversa.

 

Ejemplo. Encuentre la distancia a que se encuentran dos cuerdas del centro de una circunferencia de centro O si el radio de esta mide 25 cm y cada una de las cuerdas mide 30cm.

Solución:

Las cuerdas se han bisecado en segmentos de 15 cm cada uno. El centro del círculo con cualquiera de los extremos de las cuerdas es el radio que mide 25 cm.  El triángulo OAC es rectángulo por Th. 2 y OA es la hipotenusa.

 

Aplicando Pitágoras.

\[\begin{align*} (OA)^2 = & (AC)^2+(OC)^2 \\ (25)^2 = & 15^2+(OC)^2 \\ 625 = & 225+(OC)^2 \\ (OC)^2 = & 625 - 225 \\ OC = & \sqrt{400} \\ \overline{OC} = & 20\ cm \\ \end{align*}\]

R.\ Las cuerdas se encuentran a 20 cm del centro de la circunferencia.

 

Teorema 4. 

 

a. Las dos tangentes a una circunferencia, desde un punto P exterior a ella, son congruentes. Es decir $\overline{TP}\cong\overline{MP}.$

 

b. Las dos tangentes a una circunferencia, desde un punto P exterior a ella, forman con la cuerda a la que pertenecen los puntos de tangencia un triángulo isósceles.

 

$\overline{PT}\cong\overline{PM}$

$\angle\mathbit{PTM}\cong\angle\mathbit{PMT}$

 

c. Los triángulos que se forman con los radios de la circunferencia y las rectas tangentes son congruentes, es decir, $\mathrm{\Delta PTO}\cong\mathrm{\Delta PMO}.$

 

c. Los triángulos que se forman con los radios de la circunferencia y las rectas tangentes son congruentes, es decir

Ejemplo: Considere la figura adjunta y los datos que se proporcionan a continuación:

 PT y TM son tangentes a la circunferencia.

Halle la medida del ángulo TPO,  si se sabe que la medida del ángulo TOM es igual a 120°

 

Solución:

\[\begin{align*} m \angle OTP + m \angle TOP + m \angle TPO = &180° \\ 90° + 60° + m \angle TPO = &180° \\ m \angle TPO = &180° - 150° \\ m \angle TPO = & 30° \end{align*}\]

R.\ La medida del ángulo es 30°.

 

Teorema 5.

Cualquier ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto.

Ejercicios:

1.    La recta AB es tangente a la circunferencia de centro O en el punto T ,  y $ m \overline{AT} = 24 cm $ y $ m \overline{OA} = 25 cm $   , calcular la medida del diámetro de la circunferencia.

2.    Si se tiene un círculo de 5 cm de radio, y AB es una cuerda de 8 cm de longitud. Determinar la distancia que hay entre la cuerda AB y el centro del círculo.

3.    Calcular el diámetro de una circunferencia que posee dos cuerdas de 48 cm cada una y se encuentran a una distancia de 18 cm del centro cada una.

4.    Desde un punto ubicado en el exterior de una circunferencia de 20 cm de radio, se trazan dos tangentes. Calcule la longitud de la cuerda que une los puntos de tangencia y que está a 12 cm del centro.

5.    En una circunferencia de 13 cm de radio, hay una cuerda a 12cm del centro de la circunferencia. Calcule la medida de la cuerda. 

 

6.    Una cuerda de 18cm está a 12 cm del centro de una circunferencia ¿Cuál es la medida del radio de la circunferencia?

 7. Si E y F son puntos de tangencia, calcular la $ m \angle \alpha $ , siendo los ejes de la figura perpendiculares.

 8. Hallar la medida del ángulo ABC, si A, B y C son puntos de tangencia.

  9. Hallar el valor de x.

  10. Calcular la $ m \angle \alpha $

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