Geometría
La geometría es una rama de las matemáticas que trata del estudio de las propiedades, las medidas y transformaciones de las figuras en el plano y en el espacio.
En el siglo III a. C., Euclides presenta su obra sobre la geometría, llamada los “Los Elementos”, la que durante más de dos milenios se mantuvo casi inalterada.
Los Elementos es considerado uno de los libros más divulgados en la historia y el segundo en ediciones publicadas después de la Biblia.
Conceptos primitivos
En el campo de la geometría plana existen tres conceptos, a los que se les llaman conceptos primitivos, esto quiere decir que no tienen definición, pues no hay forma más simple para
expresarlos; tales conceptos son: punto, recta y plano.
De manera elemental, tenemos la noción de cada uno de esos conceptos primitivos.
Punto
Algunas nociones son las siguientes:
• La marca que deja un lápiz afilado.
• La punta de una aguja.
Representación geométrica de un punto
Usualmente, cuando se habla de puntos y se quiere representarlos en papel y lápiz, se suele dibujar una "bolita rellena". Además, a los puntos se les denota por letras mayúsculas del alfabeto
castellano.
Ejemplo:
• Punto A
Recta
Algunas nociones son las siguientes:
• Un trozo de hilo extendido y tenso.
• La intersección de dos paredes.
• El borde de una hoja de papel.
Representación geométrica de una recta
Cuando se quiere representar una recta en papel, se suele dibujar una "línea" con un par de flechas en sus extremos; las flechas indican que las rectas son infinitas, ya que, en geometría,
cuando se habla de rectas, se sobreentiende que se extienden infinitamente.
Además, a las rectas se les denota con letras minúsculas del alfabeto castellano o por me-dio de dos letras mayúsculas, las cuales corresponden a dos puntos que pertenecen a la recta.
Observe los siguientes ejemplos:
El concepto de recta está ligado al de punto, pues se dice que en una recta existen infinitos puntos. Es como tener un punto al lado del otro y al unirlos forman una recta. También se dice que dos puntos cualesquiera determinan una recta.
Plano
Algunas nociones son las siguientes:
• La hoja de un cuaderno.
• El piso de un aula.
Estas son sólo algunas nociones que dan una idea de plano; sin embargo, a nivel matemático, los planos no tienen límites, es decir, se extienden infinitamente (similar a las rectas) por lo que
sólo es posible representar una parte del mismo.
Representación geométrica de un plano
Los planos se suelen representar por medio de cuadrados, rectángulos o romboides. Se denotan por medio de una letra del alfabeto griego o por tres letras, que corresponden a tres de sus
puntos dibujados en su representación. También se dice que tres puntos cualesquiera determinan un plano.
Semirrecta
Si se fija un punto cualquiera en una recta, el conjunto de puntos alineados que le preceden determinan una semirrecta.
Segmento
Un segmento es una porción de recta limitada por dos puntos extremos
Otros conceptos importantes en geometría
Proposición: Es un enunciado que nos propone algo y en consecuencia el mismo puede ser falso o verdadero.
Axioma: Proposición tan evidente que por lo tanto no requiere demostración.
Ejemplo: Dos puntos cualesquiera en el espacio determinan una y sólo una recta.
Postulado: Proposición no tan evidente como un axioma, que también se admite sin de-mostración.
Ejemplo: La intersección de dos rectas determina un único punto.
Teorema: Proposición que debe ser demostrada para ser aceptada como una verdad absoluta.
Ejemplo: Los ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida.
Demostración:
Los ángulos ABD y DBC son suplementarios
Los ángulos ADB y ABE son suplementarios
Por lo tanto:
Corolario: Es una proposición que es consecuencia inmediata de otra demostrada con anterioridad.
Teorema
La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180º.
Corolario 1
En un triángulo rectángulo, la suma de los ángulos adyacentes a la hipotenusa es igual a 90º.
Justificación: En todo triángulo rectángulo existe un ángulo recto, su medida es igual a 90º. Usando el teorema anterior se tiene que (90º más las medidas de los otros dos
ángulos adyacentes a la hipotenusa), es igual a 180º. Al despejar se obtendrá que la suma de las medidas de los ángulos adyacentes es igual a 90º.
Corolario 2
En un triángulo rectángulo los ángulos adyacentes a la hipotenusa son agudos.
Justificación: Por el corolario 1 se tiene que la suma de las medidas de los ángulos adyacentes a la hipotenusa es igual a 90º, así, la medida de ambos ángulos debe ser menor que
90º y por lo tanto, dichos ángulos son agudos.
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