Coordenadas rectangulares
Hemos visto que podemos representar un punto en una recta numérica, asignándole un único valor correspondiente a un número real.
Para representar un punto en un plano de dos dimensiones, se suele utilizar el plano cartesiano, también llamado coordenadas cartesianas o sistema cartesiano. Este se representa con dos rectas numéricas ortogonales, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto llamado origen o punto cero.
El nombre de “cartesiano” es en honor del filósofo francés René Descartes (1596-1650) ya que fue él quien planteó de manera formal la idea de resolver problemas geométricos por medio del álgebra, a partir de un sistema de coordenadas rectangulares.
La recta horizontal se denomina eje x o abscisa; la recta vertical, eje y u ordenada.
Como ya se dijo el sistema de coordenadas se llama sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares. El plano formado por los ejes x y y se llama plano xy y se hace referencia a los ejes como ejes coordenados.
Cualquier punto P en el plano xy se puede representar por medio de un par ordenado (x, y) de números reales que indican la posición de dicho punto respecto de los ejes de coordenadas.
La coordenada xp es la abscisa del punto o coordenada x, y se mide sobre el eje X, siendo la proyección ortogonal del punto en el eje X.
La segunda coordenada, yp es la ordenada del punto o coordenada y, y se mide sobre el eje Y, siendo la proyección perpendicular del punto sobre el eje vertical.
Las coordenadas siempre se escriben en el mismo orden: el valor de la abscisa primero, después la ordenada. Esto se llama un "par ordenado". Los valores se separan con una coma, y se escriben entre paréntesis así: (3,2)
Ejemplo: (4,9) significa 4 unidades a la derecha sobre el eje X y 9 unidades arriba en el eje Y
Ejemplo: (0,5) significa 0 unidades sobre el eje X (origen) y 5 arriba sobre el eje Y.
Veamos en el plano cartesiano la representación de los siguientes pares ordenados:
(-4, 1), (3, 2), (-2, -3) y (4, -2).
El origen tiene coordenadas (0,0).
Los ejes del plano cartesiano dividen al plano xy en cuatro secciones denominadas cuadrantes, como se muestra en la figura adjunta.
Todos los puntos del primer cuadrante tienen su abscisa y su ordenada positivas.
Los puntos del segundo cuadrante tienen su abscisa negativa y su ordenada positiva.
En el caso de los puntos ubicados en el tercer cuadrante, tanto sus abscisas como sus ordenadas son negativas. Y para los puntos del cuarto cuadrante, las abscisas son positivas mientras que las ordenadas son negativas.
Dimensiones
Como vimos al inicio de este tema en una recta numérica, únicamente podemos representar valores a la izquierda o la derecha del origen.
En un sistema cartesiano cada par ordenado hace referencia a dos magnitudes respecto del origen, izquierda o derecha y arriba o abajo.
¿Cómo haremos entonces, para mostrar un punto en un espacio de tres dimensiones, el vértice superior de una pared en tu dormitorio?
En tales casos se suelen usar sistemas de coordenadas cartesianas para localizar puntos en tres dimensiones, como se muestra en el ejemplo adjunto.
Para ello utilizamos tres ejes X, Y, Z, como en la figura adjunta (tomado de AxGlyph)
Punto medio en un sistema cartesiano
Si se tienen dos puntos en un plano, es factible encontrar el punto medio. Veamos de nuevo los siguientes puntos en el plano cartesiano:
Vamos a utilizar Geogebra para encontrar el punto medio entre algunos de esos pares ordenados.
Para ello vas a la página de Geogebra (https://www.geogebra.org/classic)
Pulsa en la barra sobre el botón punto y a continuación pulsa en el plano cartesiano sobre cada uno de los lugares del plano donde se ubica cada par ordenado. A continuación pulsa nuevamente sobre el punto para que se despliegue el menú contextual y selecciona Medio o Centro, luego pulsas sobre los dos puntos a los que deseamos encontrar su punto medio y de inmediato obtendremos el punto en el plano y su coordenada.
En la imagen vemos que el punto medio entre A (2, 3) y B (-4, 1) es el punto E cuya coordenada es (-1, 2).
Generalizando podemos determinar algebraicamente el punto medio de dos puntos cuyas coordenadas son A(x1, y1) y B(x2, y2) por el par ordenado formado por la semisuma de las abscisas y la semisuma de las ordenadas, es decir:
Por ejemplo, si queremos calcular el punto medio del segmento que une los siguientes puntos, tendremos:
A (2, 3) y B (-4, 1), entonces el punto medio del segmento AB está dado por:
A(-6, 8) y B(6,-7). Determinar el punto medio del segmento AB.
Punto medio en el espacio
Dados los puntos A(3, -2, 5) y B(3, 1, 7), hallar las coordenadas del punto medio del segmento que determinan.
Distancia entre dos puntos
Supóngase que tenemos dos puntos en el plano A=(4, 5) y B=(-2, 1), deseamos determinar la longitud del segmento que subtienden los puntos A y B.
Para determinar la distancia entre los puntos A y B, trazando las líneas auxiliares, aprovechando la cuadrícula del plano cartesiano obtenemos un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el segmento AB.
Para determinar la longitud de los catetos AC y BC, podemos contar cuantas unidades hay entre los puntos A y C y B y C respectivamente. Nótese que el punto C tiene como coordenada el punto (4, 1).
Distancia AC: Contando unidades utilizando la cuadrícula tenemos que la distancia AC es igual a 4 unidades de longitud, de forma equivalente por tratarse de un segmento vertical podemos obtener esa longitud restando las ordenadas de los dos puntos y obtener ese valor como un valor absoluto puesto que las distancias siempre son positivas.
Distancia BC: Contando unidades utilizando la cuadrícula tenemos que la distancia BC es igual a 6 unidades de longitud, de forma equivalente por tratarse de un segmento horizontal podemos obtener esa longitud restando las abscisas de los dos puntos y obtener ese valor como un valor.
Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos:
Generalizando, si se tienen dos puntos A:(x1, y1) y B:(x2,y2) aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo formado se tiene que:
La fórmula encontrada, nos permite calcular la distancia entre dos puntos cualesquiera del plano cartesiano. Como las diferencias de las coordenadas de las abscisas y de las ordenadas están elevadas al cuadrado, el resultado será positivo. Entonces no importa como designemos a cada punto.
También podemos encontrar la distancia entre dos puntos en el plano utilizando Geogebra. Verificamos con el ejemplo anterior.
También puedes usar el programa Geogebra para calcular la distancia de un segmento.
Para ello debes colocar los dos puntos que son los extremos del segmento y luego clic en el icono de segmento por dos puntos.
Luego clic en los puntos y aparecerá dibujado el segmento correspondiente.
En la barra de herramientas pulsamos el botón cuya leyenda es Distancia o Longitud.
Determinar el perímetro del triángulo de vértices: A:(-3, -4), B:(3, -2) y C:(-2, 4).
Ejemplo:
Los vértices de un triángulo en un plano cartesiano son los puntos A:(5, 1), B:(2, 2) y C:(4, 3). Verificar que el triángulo es isósceles.
Como las medidas de AC y BC son iguales, entonces el triangulo es isósceles de base AB.