La Mediana
| Mediana |
| Es el valor que divide al conjunto ordenado de datos, en dos subconjuntos con la misma cantidad de elementos. La mitad de los datos son menores que la mediana y la otra mitad son mayores |
En general, vamos a representar un conjunto de n datos como:
\[x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}\]
Si los datos están ordenados, los indicaremos como:
\[x\left ( 1 \right ),x\left ( 2 \right ),x\left ( 3 \right ),...,x\left ( n \right )\]
donde el subíndice encerrado entre paréntesis indica el orden o ubicación en el conjunto ordenado.
Se presentan dos situaciones:
Número impar de datos: La mediana es el dato que está en la posición (n+1)/2, donde n es el total de datos.
\[Me=\widetilde{m}=\widetilde{x}=x_{\frac{n+1}{2}}\]
Sea el conjunto ordenado de datos:
2 3 5 6 8
\[Me=x_{\left ( \frac{5+1}{2} \right )}=x_{3}=5\]
La mitad de las observaciones son menores o iguales que 5 y la otra mitad son mayores o iguales que 5.
Número par de datos: Es el promedio entre los dos datos centrales.
\[Me=\widetilde{m}=\widetilde{x}=\frac{x_{\left ( \frac{n}{2} \right )}+x_{\left ( \frac{n}{2} +1\right )}}{2}\]
|
2 |
3 |
5 |
6 |
8 |
9 |
|
x(1) |
x(2) |
x(3) |
x(4) |
x(5) |
x(6) |
\[\begin{align*} Me&=\widetilde{m}=\widetilde{x}=\frac{x_{\left ( \frac{n}{2} \right )}+x_{\left ( \frac{n}{2} +1\right )}}{2}\\ &=\frac{x_{\left ( \frac{6}{2} \right )}+x_{\left ( \frac{6}{2} +1\right )}}{2}\\ &=\frac{x_{3}+x_{4}}{2}\\ &=\frac{5+6}{2}\\ &=5,5 \end{align*}\]
La mitad de las observaciones son menores o iguales que 5,5 y la otra mitad son mayores o iguales que 5,5.
Cálculo de la mediana para datos agrupados
Si los datos están agrupados en una distribución de frecuencias, se selecciona el intervalo de clase que contiene la mediana llamado clase mediana. Para ello debemos determinar la frecuencia acumulada absoluta que contenga al elemento . El valor de este intervalo para la mediana se calcula utilizando la siguiente fórmula:
\[Me=L_{i}+c\left ( \frac{\frac{n}{2}-F_{\left ( i-1 \right )}}{f_{i}} \right )\]
Donde:
Li = Límite inferior real de la clase mediana
c = Intervalo de la clase mediana
Fi-1 = Frecuencia acumulada de la clase premediana
fi = frecuencia simple de la clase mediana
Ejemplo: La edad de los residentes en un complejo de viviendas tiene la siguiente distribución:
|
EDAD |
mi |
f i |
f ri |
f ri % |
Fi |
Fri |
Fri % |
|
[50,60) |
55 |
10 |
0,20 |
20 |
10 |
0,20 |
20 |
|
[60, 70) |
65 |
18 |
0,36 |
36 |
28 |
0,56 |
56 |
|
[70, 80) |
75 |
14 |
0,28 |
28 |
42 |
0,84 |
84 |
|
[80, 90) |
85 |
6 |
0,12 |
12 |
48 |
0,96 |
96 |
|
[90,100) |
95 |
2 |
0,04 |
4 |
50 |
1 |
100 |
La mediana es la que contenga el elemento en la posición 50/2, es decir en la posición 25. Buscamos en la frecuencia acumulada Fi y vemos que se halla en el intervalo [60, 70).
\[\begin{align*} &L_{i}=60 &F_{i-1}&=10 &f_{i}&=18 &c&=10\\ \end{align*}\]
\[\begin{align*} Me&=L_{i}+c\left ( \frac{\frac{n}{2}-F_{i-1}}{f_{i}} \right )\\ &=60+10\left ( \frac{25-10}{18} \right )\\ &=68,33 \end{align*}\]
VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA MEDIANA
- Se puede utilizar para datos cualitativos ordinales y para datos cuantitativos
- No se ve afectada por los valores extremos. Esta es la propiedad más importante que tiene.
- Se puede utilizar cuando la distribución de frecuencias tiene clases abiertas, a menos que la mediana caiga en una de las clases abiertas.
- Si hay un gran número de datos, el tener que ordenarlos para hallar la mediana exige esfuerzo y tiempo.