La probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado resultado (suceso) cuando se realiza un experimento aleatorio.

La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por ciento, entre 0% y 100%):

• El valor cero corresponde al suceso imposible: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga el número 7 es cero (al menos, si es un dado certificado por la OMD, "Organización Mundial de Dados").
• El valor uno corresponde al suceso seguro: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier número del 1 al 6 es igual a uno (100%).
• El resto de sucesos tendrá probabilidades entre cero y uno: que será tanto mayor cuanto más probable sea que dicho suceso tenga lugar.

¿Cómo se mide la probabilidad?

Uno de los métodos más utilizados es aplicando la Regla de Laplace: define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles.

P(A) = Casos favorables / casos posibles

Veamos algunos ejemplos:

a) Probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2: el caso favorable es tan sólo uno (que salga el dos), mientras que los casos posibles son seis (puede salir cualquier número del uno al seis). Por lo tanto:

P(A) = 1 / 6 = 0,166 (o lo que es lo mismo, 16,6%)

b) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par: en este caso los casos favorables son tres (que salga el dos, el cuatro o el seis), mientras que los casos posibles siguen siendo seis. Por lo tanto:

P(A) = 3 / 6 = 0,50 (o lo que es lo mismo, 50%)

c) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número menor que 5: en este caso tenemos cuatro casos favorables (que salga el uno, el dos, el tres o el cuatro), frente a los seis casos posibles. Por lo tanto:

P(A) = 4 / 6 = 0,666 (o lo que es lo mismo, 66,6%)

Para poder aplicar la Regla de Laplace el experimento aleatorio tiene que cumplir dos requisitos:

a) El número de resultados posibles (sucesos) tiene que ser finito. Si hubiera infinitos resultados, al aplicar la regla "casos favorables / casos posibles" el cociente siempre sería cero.

b) Todos los sucesos tienen que tener la misma probabilidad. Si al lanzar un dado, algunas caras tuvieran mayor probabilidad de salir que otras, no podríamos aplicar esta regla.

A la regla de Laplace también se le denomina "probabilidad a priori", ya que para aplicarla hay que conocer antes de realizar el experimento cuales son los posibles resultados y saber que todos tienen las mismas probabilidades.

¿Y si el experimento aleatorio no cumple los dos requisitos indicados, qué hacemos?

En este caso podemos acudir a otro modelo de cálculo de probabilidades que se basa en la experiencia (modelo frecuentista):

Cuando se realiza un experimento aleatorio un número muy elevado de veces, las probabilidades de los diversos posibles sucesos empiezan a converger hacia valores determinados, que son sus respectivas probabilidades.

Ejemplo: si lanzo una vez una moneda al aire y sale "cara", quiere decir que el suceso "cara" ha aparecido el 100% de las veces y el suceso "cruz" el 0%.

Si lanzo diez veces la moneda al aire, es posible que el suceso "cara" salga 7 veces y el suceso "cruz" las 3 restantes. En este caso, la probabilidad del suceso "cara" ya no sería del 100%, sino que se habría reducido al 70%.

Si repito este experimento un número elevado de veces, lo normal es que las probabilidades de los sucesos "cara" y "cruz" se vayan aproximando al 50% cada una. Este 50% será la probabilidad de estos sucesos según el modelo frecuentista.

En este modelo ya no será necesario que el número de soluciones sea finito, ni que todos los sucesos tengan la misma probabilidad.

Ejemplo: si la moneda que utilizamos en el ejemplo anterior fuera defectuosa (o estuviera trucada), es posible que al repetir dicho experimento un número elevado de veces, la "cara" saliera con una frecuencia, por ejemplo, del 65% y la "cruz" del 35%. Estos valores serían las probabilidades de estos dos sucesos según el modelo frecuentista. A esta definición de la probabilidad se le denomina probabilidad a posteriori, ya que tan sólo repitiendo un experimento un número elevado de veces podremos saber cuál es la probabilidad de cada suceso.

Probabilidad de sucesos

Al definir los sucesos hablamos de las diferentes relaciones que pueden guardar dos sucesos entre sí, así como de las posibles relaciones que se pueden establecer entre los mismos. Vamos a ver ahora cómo se refleja esto en el cálculo de probabilidades.

a) Un suceso puede estar contenido en otro: entonces, la probabilidad del primer suceso será menor que la del suceso que lo contiene.

Ejemplo: lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: a) que salga el número 6, y b) que salga un número par. Dijimos que el suceso a) está contenido en el suceso b).

P(A) = 1/6 = 0,166

P(B) = 3 / 6 = 0,50

Por lo tanto, podemos ver que la probabilidad del suceso contenido, suceso a), es menor que la probabilidad del suceso que lo contiene, suceso b).

b) Dos sucesos pueden ser iguales: en este caso, las probabilidades de ambos sucesos son las mismas.

Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que salga múltiplo de 2. Las soluciones coinciden en ambos casos.

P(A) = 3 / 6 = 0,50

P(B) = 3 / 6 = 0,50

c) Intersección de sucesos: es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de los dos o más sucesos que se intersectan. La probabilidad será igual a la probabilidad de los elementos comunes.

Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que sea mayor que 3. La intersección de estos dos sucesos tiene dos elementos: el 4 y el 6.

Su probabilidad será por tanto: 

\[P(A\cap B)=\frac{2}{6}=0,33333...\]

d) Unión de dos o más sucesos: la probabilidad de la unión de dos sucesos es igual a la suma de las probabilidades individuales de los dos sucesos que se unen, menos la probabilidad del suceso intersección.

Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, o b) que el resultado sea mayor que 3. El suceso unión estaría formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6.

\[\begin{align*} P(A)&=\frac{3}{6}=0,50\\ P(B)&=\frac{3}{6}=0,50\\ P(A\cap B)&=\frac{2}{6}=0,33333...\\ P(A\cup B)&=(0,50 + 0,50) - 0,33 = 0,666 \end{align*}\]

e) Sucesos incompatibles: la probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles será igual a la suma de las probabilidades de cada uno de los sucesos (ya que su intersección es el conjunto vacío y por lo tanto no hay que restarle nada).

Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un número menor que 3, o b) que salga el número 6.

La probabilidad del suceso unión de estos dos sucesos será igual a:

P(A) = 2 / 6 = 0,333

P(B) = 1 / 6 = 0,166

Por lo tanto, 

\[P(A\cup B ) = 0,33 + 0,166 = 0,50\]

f) Sucesos complementarios: la probabilidad de un suceso complementario a un suceso (A) es igual a 1 - P(A)

Ejemplo: lanzamos un dado al aire. el suceso (A) es que salga un número par, luego su complementario, suceso (B), es que salga un número impar.

La probabilidad del suceso (A) es igual a :

P(A) = 3 / 6 = 0,50

Luego, la probabilidad del suceso (B) es igual a:

P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0,50 = 0,50

Se puede comprobar aplicando la regla de "casos favorables / casos posibles":

P(B) = 3 / 6 = 0,50

g) Unión de sucesos complementarios: la probabilidad de la unión de dos sucesos complementarios es igual a 1.

Ejemplo: seguimos con el ejemplo anterior: a) que salga un número par, y b) que salga un número impar. La probabilidad del suceso unión de estos dos sucesos será igual a:

\[\begin{align*} P(A) &= 3 / 6 = 0,50\\ P(B) &= 3 / 6 = 0,50\\ \therefore \: \: P(A\cup B ) &= 0,50 + 0,50 = 1 \end{align*}\]

Distribución de Probabilidades

Probabilidad: Es la posibilidad numérica, entre 0 y 1, de que ocurra un evento.

La probabilidad de un evento con base en el modelo de frecuencia relativa se determina mediante la fórmula:

\[\textrm{Frecuencia Relativa P(E)}=\frac{\textrm{No. de veces que ha ocurrido el evento}}{\textrm{No. total de observaciones}}\]

Ejemplo. Determine la probabilidad de que en cierta línea de producción se manufacture un producto defectuoso, si se toma como referencia que la producción de la última semana en esta línea fue de 1500 productos, entre los que se encontraron 18 productos defectuosos.

\[\begin{align*} \textrm{P(D)}&=\frac{\textrm{No. de productos defectuosos}}{\textrm{No. de productos producidos en la semana}}\\ P(D)&= \frac{18}{1500}=0.012 \end{align*}\]

Lo anterior nos indica que es muy probable que 1.2 productos de cada 100 que se manufacturen en esa línea sean defectuosos.

¿Por qué se utilizó para calcular las probabilidades la información de la semana inmediata anterior? Debido a que esta refleja la situación que guarda actualmente la producción de la línea mencionada.

Variables aleatorias

Una variable X es aleatoria, si cada valor asumido es el resultado de un proceso aleatorio.  Un proceso aleatorio es aquel que puede producir resultados diferentes aún en las mismas condiciones.  Esta variable puede ser discreta o continua.  La variable aleatoria se define como un valor o magnitud que cambia de ocurrencia en ocurrencia en una secuencia al azar.  Así por ejemplo, el administrador de una granja avícola, no tiene forma de saber con certeza, cuál será la producción para el día siguiente.  Por lo tanto, la producción de huevos, para este día será una variable aleatoria.

En el siguiente cuadro se presenta la distribución de frecuencias de la producción de la granja agrícola en los últimos 200 días.  Considerando esa producción como típica, se puede determinar con ella una distribución de probabilidad.

Valor esperado de una variable aleatoria

El valor esperado es una idea fundamental en el estudio probabilístico, debido a su uso en la toma de decisiones bajo condiciones de incertidumbre.  En nuestro caso y para los efectos de este curso lo consideraremos solamente para variables discretas.

Para obtener el valor esperado o esperanza matemática, E(x) de una variable aleatoria discreta, se multiplica cada valor que pueda asumir la variable aleatoria por la probabilidad de ocurrencia  de ese valor; luego sumamos todos esos productos.  El valor esperado es el equivalente a µ, o sea la media de la población.

\[E(x)=\sum_{i=1}^{k}x_iP(x_i)\]

Donde:                k              es el número de valores que puede asumir la variable aleatoria

                              x_i              es el valor i-ésimo de la variable aleatoria

                              P(x_i)       es la probabilidad de que la variable asuma el valor x.

En el ejemplo anterior, tenemos:

Por lo tanto, el valor esperado de producción diaria de huevos, es de aproximadamente 133 huevos diarios.  Por eso el administrador basará sus decisiones en el valor esperado.

$$\mu =E\left(x\right)=\sum _{i=1}^k{x}_{i}P\left(x_i\right)=133,02$$