Las características de la distribución binomial son:

1. En los experimentos que tienen este tipo de distribución, siempre se esperan dos tipos de resultados, ejemplos: Defectuoso, no defectuoso, pasa, no pasa, Cierto o falso. Ellos son denominados arbitrariamente “éxito” (que es lo que se espera que ocurra) o “fracaso” (lo contrario del éxito).
2. Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados son constantes, es decir no cambian.
3. Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes entre sí.
4. El número de ensayos o repeticiones del experimento (n) es constante.

A partir de un ejemplo. Desarrollaremos una fórmula que nos permita cualquier problema que tenga este tipo de distribución.

Ejemplo: Se lanza al aire una moneda normal 3 veces, determine la probabilidad de que aparezcan 2 escudos.

Solución:

Se asignan los valores correspondientes a las siguientes variables:

n = número de lanzamientos de moneda = 3

r = número deseado de “éxitos” = número de escudos = 2

p = probabilidad de “éxito”= P(E) =1/2= 0,5

q = probabilidad de “fracaso”= 1-p = 1-0,5 = 0,5

Para resolver el problema se usará la fórmula binomial: Probabilidad binomial de obtener r aciertos en n pruebas:

\[\begin{align*} P(r)&=\frac{n!}{r!(n-r)!}p^rq^{n-r}\\ P(r=2)&=\frac{3!}{2!(3-2)!}0,5^2\cdot 0,5^{3-2}\\ &= \frac{6}{2}\cdot 0,25\cdot 0,5\\ &=0,375 \end{align*}\]

El resultado se interpreta indicando, que si se realiza un gran número de veces el lanzamiento de esas monedas, se espera que un 37,5% de las veces se obtengan dos escudos.

Ejemplo: Históricamente, la quinta parte de los estudiantes, que han presentado un examen por suficiencia lo han aprobado.  Se desea obtener la probabilidad de obtener exactamente tres exámenes aprobados en un grupo de seis.

n = 6                          r = 3                           p = 0,2                                   q = 0,8

\[\begin{align*} P(r)&=\frac{n!}{r!(n-r)!}p^rq^{n-r}\\ P(r=3)&=\frac{6!}{3!(6-3)!}0,2^3\cdot 0,8^{6-3}\\ &= \frac{720}{36}\cdot 0,008\cdot 0,512\\ &=0,819 \end{align*}\]

Por lo tanto en un grupo formado aleatoriamente por seis estudiantes que presentan un examen por suficiencia, habrá una esperanza del 8,19% de que 3 de ellos ganen el curso.

Ejemplo:  El administrador de una fábrica de artesanía, con una producción diaria de 5 piezas, ha observado, que el 20% de las piezas sale con pequeños defectos, este resultado se ha mantenido constante a través del tiempo.  Determinar la probabilidad de que, en un mismo día, 0, 1, 2, 3, 4 o 5 piezas salgan con defectos.

n = 5                          r = 0, 1, 2, 3, 4, 5                   p = 0,2                      q = 0,8

\[\begin{align*} P(r)&=\frac{n!}{r!(n-r)!}p^rq^{n-r} &P(r) &=\frac{n!}{r!(n-r)!}p^rq^{n-r}\\ P(r=0)&=\frac{5!}{0!(5-0)!}0,2^0\cdot 0,8^{5-0} &P(r=1)&=\frac{5!}{1!(5-1)!}0,2^1\cdot 0,8^{5-1}\\ &= \frac{120}{120}\cdot 1\cdot 0,32768 & &= \frac{120}{24}\cdot 0,2\cdot 0,4096\\ &=0,3277 & &=0,4096 \end{align*}\]

La probabilidad de que ninguna pieza tenga defectos es del 32,77% y la probabilidad de que 1 pieza salga defectuosa es del 40,96%

\[\begin{align*} P(r)&=\frac{n!}{r!(n-r)!}p^rq^{n-r} &P(r) &=\frac{n!}{r!(n-r)!}p^rq^{n-r}\\ P(r=2)&=\frac{5!}{2!(5-2)!}0,2^2\cdot 0,8^{5-2} &P(r=3)&=\frac{5!}{3!(5-3)!}0,2^3\cdot 0,8^{5-3}\\ &= \frac{120}{12}\cdot 0,04\cdot 0,512 & &= \frac{120}{12}\cdot 0,008\cdot 0,64\\ &=0,2048 & &=0,0512 \end{align*}\]

La probabilidad de que dos piezas tengan defectos es del 20,48% y la probabilidad de que 3 piezas salgan defectuosas es del 5,12%

\[\begin{align*} P(r)&=\frac{n!}{r!(n-r)!}p^rq^{n-r} &P(r) &=\frac{n!}{r!(n-r)!}p^rq^{n-r}\\ P(r=4)&=\frac{5!}{4!(5-4)!}0,2^4\cdot 0,8^{5-4} &P(r=5)&=\frac{5!}{5!(5-5)!}0,2^5\cdot 0,8^{5-5}\\ &= \frac{120}{24}\cdot 0,00016\cdot 0,8 & &= \frac{120}{120}\cdot 0,000032\cdot 1\\ &=0,0064 & &=0,000032 \end{align*}\]

La probabilidad de que cuatro piezas tengan defectos es del 0,64% y la probabilidad de que 5 piezas salgan defectuosas es del 0,0032%

Ejemplo: Se dice que el 75% de los accidentes en una industria se atribuyen a errores humanos. Si en un período de tiempo dado, se suscitan 5 accidentes, determine la probabilidad de que:

a) dos de los accidentes se atribuyan a errores humanos,

b) como máximo 1 de los accidentes se atribuya a errores de tipo humano.

\[\begin{align*} a)\: \: \: n=5 \: \:\: r&=2 \: \:\: p=0,75 \: \: \: q=0,75\\ P(r)&=\frac{n!}{r!(n-r)!}p^rq^{n-r} \\ P(r=2)&=\frac{5!}{2!(5-2)!}0,75^2\cdot 0,25^{5-2} \\ &= \frac{120}{12}\cdot 0,5625\cdot 0,015625 \\ &=0,08789062\\\\ \end{align*}\]

\[\begin{align*} b)\: \: \: n=5 \: \:\: r&=0 \: \: o \: \: r=1(Max:1) \: \:\: p=0,75 \: \: \: q=0,75\\ P(r=0)+P(r=1) &= \frac{5!}{0!(5-0)!}0,75^0\cdot 0,25^{5-0} + \frac{5!}{1!(5-1)!}0,75^1\cdot 0,25^{5-1}\\ &= \frac{120}{120}\cdot 1\cdot 0,000976562+ \frac{120}{24}\cdot 0,75\cdot 0,00390625\\ &=0,015625 \end{align*}\]

La probabilidad de que dos de los accidentes se atribuyan a errores humanos, es del 8,79%, y la probabilidad de que a lo sumo 1 accidente se deba a error humano es del 1,56%.