La distribución binomial es apropiada sólo si la probabilidad de éxito permanece constante para cada intento.  Ello ocurre si el muestreo se realiza con reemplazo o en una población finita (o muy grande).  

Los experimentos que tienen este tipo de distribución tienen las siguientes características:

a)      Al realizar un experimento, se esperan dos tipos de resultados.

b)      Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.

c)      Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de los demás.

d)      El número de repeticiones del experimento (n) es constante.

Sin embargo si la población es pequeña y ocurre el muestreo sin reemplazo, la probabilidad de un éxito variará.  Si la probabilidad de un éxito no es constante, la distribución hipergeométrica es de especial utilidad.  La fórmula de probabilidad para la distribución hipergeométrica es:

\[P(x)=\frac{_{r}C_x\: _{N-r}C_{n-r}}{_{N}C_n},\: \: \: _nC_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}\]

En donde:

N es el tamaño de la población

r es el número de éxitos de la población

n es el tamaño de la muestra

x es el número de éxitos de la muestra

Ejemplos:

1. Supongamos que en un rebaño hay 10 ovejas, y 4 de ellas están enfermas. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar 3 de ellas, resulte que 2 estén enfermas?

Solución:

Se trata de una muestra sin reemplazo de una población finita con una proporción relativamente grande de la población.

N = 10       r = 4       n = 3       x= 2

\[\begin{align*} P(x)&=\frac{_{r}C_x\: _{N-r}C_{n-r}}{_{N}C_n}\\ &=\frac{_4C_2\: _{(10-4)}C_{(3-2)}}{_{10}C_3}\\ &=\frac{6,6}{120}\\ &=0,3 \end{align*}\]

R/. La probabilidad de que al seleccionar tres animales, dos estén enfermos es del 30%.

2.  De un lote de 10 lámparas, 4 se seleccionan al azar y se encienden. Si el lote contiene 3 lámparas defectuosas que no encenderán, ¿cuál es la probabilidad de que:

a) las 4 enciendan,

b) al menos 2 no enciendan.

Solución:

a)

N = 10 lámparas en total

r = 7 lámparas que no están defectuosas

n = 4 lámparas elegidas

x = 4 lámparas que encienden

\[\begin{align*} P(x)&=\frac{_{r}C_x\: _{N-r}C_{n-r}}{_{N}C_n}\\ &=\frac{_7C_4\: _{(10-7)}C_{(4-4)}}{_{10}C_4}\\ &=\frac{35}{210}\\ &=0,16666 \end{align*}\]

R/. La probabilidad de que al seleccionar cuatro lámparas, todas enciendan es del 16,67%.

b) al menos 2 no enciendan. (2 o más - 2, o 3  no enciendan)

N = 10 lámparas en total

r = 3 lámparas  defectuosas

n = 4 lámparas elegidas

x = 2 o 3 lámparas que no encienden

\[\begin{align*} P(x)&=\frac{_rC_x\: _{(N-r)}C_{(n-x)}}{_NC_n}\\ P(x=2 \: o \: x=3)&=\frac{_3C_2\: _{(10-3)}C_{(4-2)}+_3C_3\: _{(10-3)}C_{(4-3)}}{_{10}C_4}\\ &=\frac{3\cdot 21+1\cdot 7}{210}\\ &=\frac{63+7}{210}\\ &=\frac{70}{210}\\ &=0,3333... \end{align*}\]

Una variable aleatoria discreta de gran utilidad en la medición de la frecuencia relativa de un evento sobre alguna unidad de tiempo o espacio es la distribución de Poisson.  Con frecuencia se utiliza para describir:

• el número de llegadas de clientes por hora,
• el número de accidentes industriales cada mes,
• el número de conexiones eléctricas defectuosas por kilómetro de cableado,
• el número de máquinas dañadas,
• el número de defectos de una tela por m2,
• el número de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto,
• el número de bacterias por cm2 de cultivo,
• el número de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, entre otros.

Son necesarios dos supuestos para la aplicación de la distribución de Poisson:

• La probabilidad de ocurrencia del evento es constante para dos intervalos de tiempo o espacio cualesquiera.
• La ocurrencia del evento en un intervalo es independiente de  la ocurrencia de otro intervalo cualquiera.

Dados estos supuestos, la fórmula de probabilidad de Poisson puede expresarse como:

\[P(x)={\frac{\mu^xe^{-\mu}}{x!}}\]

En donde:

                x es el número de veces que ocurre el evento

                µ es el número promedio de ocurrencias por unidad de tiempo o espacio

                e = 2,71828, la base del logaritmo natural

Ejemplos:

1. Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?

Solución:

a)  µ = 6      x = 4

\[\begin{align*} P(x)&=\frac{\mu^x\: e^{-\mu}}{x!}\\ P(x=4)&=\frac{6^4\: e^{-6}}{4!}\\ &=0,13392 \end{align*}\]

R/. La probabilidad de recibir cuatro cheques sin fondo en 1 día es del 13,39%.

b) µ debe estar en función de la unidad de tiempo, entonces: 

    µ = 12     x = 10

\[\begin{align*} P(x)&=\frac{\mu^x\: e^{-\mu}}{x!}\\ P(x=10)&=\frac{12^{10}\: e^{-12}}{10!}\\ &=0,104953 \end{align*}\]

R/. La probabilidad de recibir diez cheques sin fondo en 2 días consecutivos es del 10,5%.

2. Una compañía de pavimentación local obtuvo un contrato por mantenimiento de vías. Las vías pavimentadas por esta compañía demostraron un promedio de dos defectos por kilómetro, después de 1 año de uso. ¿Cuál es la probabilidad de que se presenten 3 defectos en cualquier kilómetro de vía después de 1 año de tráfico?

Solución:

µ = 2     x = 3

\[\begin{align*} P(x)&=\frac{\mu^x\: e^{-\mu}}{x!}\\ P(x=3)&=\frac{2^{3}\: e^{-2}}{3!}\\ &=0,1804 \end{align*}\]

R/. La probabilidad de que se presenten 3 defectos en cualquier km de vía después del primer año es del 18,04%.