La distribución binomial, es una distribución discreta en la que n ensayos pueden producir un éxito o un fracaso.  La probabilidad de éxito la denominamos p y la posibilidad de fracaso será q = (1 - p).  Como se ha visto en otros apartados el cálculo de la distribución binomial puede exceder el límite de cualquier tabla y volverse muy engorrosa en su cálculo si el valor de n es muy grande.

Un método alternativo para el cálculo de la distribución binomial es por medio del uso de la distribución normal para aproximar la distribución binomial.  Para ello es fundamental que se satisfagan las siguientes condiciones, np ≥ 5 y n(1 - p) ≥ 5 y además p está próximo a 0,5.  

Si no se pudieran utilizar las tablas binomiales, se puede aproximar la respuesta utilizando la distribución normal. Para ello podemos obtener la media y la desviación estándar de la distribución normal con las siguientes  fórmulas:

\[\begin{align*} \mu &= np\\ \sigma &= \sqrt{npq} \end{align*}\]

Debido a que la distribución normal es continua, y en consecuencia entre dos valores existirá una serie infinita de valores posibles, para estimar una variable aleatoria discreta se requiere de un leve ajuste, denominado factor de corrección de continuidad, sumando o restando 1/2 al valor de x. De esta forma el valor de z se obtiene mediante la fórmula:

\[z=\frac{(x+1/2)-\mu}{\sigma}\]

Ejemplos:

1. El 45% de todos los empleados de una dependencia pública poseen título que los acredita para el puesto. ¿Cuál es la probabilidad de que de los 160 empleados elegidos al azar 75 posean título para el puesto?

Solución:

Datos: n = 160, x = 75, p = 0,45, q = 0,55

\[\begin{align*} \mu &=np\\ \mu &=160\cdot 0,45=72\\ \\ \sigma &= \sqrt{npq}\\ \sigma &= \sqrt{160\cdot 0,45\cdot 0,55}=6,29\\ \end{align*}\]

\[\begin{align*} z_{1}&=\frac{(x+1/2)-\mu}{\sigma}=\frac{75,5-72}{6,29}=0,56\rightarrow Area=0,21226\\ z_{2}&=\frac{(x+1/2)-\mu}{\sigma}=\frac{74,5-72}{6,29}=0,40\rightarrow Area=0,15542\\ \end{align*}\]

\[Luego,\\ P(74,5\leqslant x\leqslant 75,5)=0,21226-0,15542=0,05684\approx 5,68\%\]

La probabilidad de que 75 empleados elegidos aleatoriamente posean título para el cargo es del 5,68%.