La integral definida

Área de una región

Para determinar el área de una región bajo una curva mediante integrales, en primer lugar, definiremos el concepto de integral definida. Así tendríamos que se define como integral definida de una función f(x)=y en el intervalo [a, b] y denotado por:

Podemos afirmar que:

Siendo y=f(x) una función continua y positiva en [a, b], entonces la integral definida en ese intervalo representa la región comprendida por la curva de la función f(x), las rectas x=a, x=b y y=0.

Propiedades de las integrales definidas

La definición de la integral definida de f en [a, b] asume como cierto que a < b, y partiendo de esa premisa establecemos las siguientes propiedades

1.      Si f es integrable en los tres intervalos cerrados delimitados por a, b y c, siendo a<b<c, entonces:

2.      Si f es integrable en el intervalo [a, b] y k es una constante, entonces:

3.      Si f y g son integrables en [a, b] y las funciones f±g son integrables en [a, b], entonces:

4.      Si f es integrable y positiva en el intervalo [a, b], entonces:

5.      Si f y g son integrables en el intervalo [a, b] y además f(x)≤g(x) para todo x en [a, b], entonces:

Teorema fundamental del cálculo

Siendo f una función continua en [a, b] tal que F(x) es una antiderivada o primitiva de f en [a, b], entonces:

Teorema del valor medio para integrales

Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] existe un número c en [a, b] tal que:

Definición: Si f es integrable en [a, b], entonces el valor medio de f en [a, b] es:

Ejemplo:

Hallar el valor medio de f(x) = 3x²-2x en [1, 4]