Integrales impropias

En la definición de la integral definida

(https://jcastrom.jimdofree.com/matematica/c%C3%A1lculo-integral/la-integral-definida/), se supuso que se requiere que el intervalo [a, b] sea finito. Además, considerando el teorema fundamental del cálculo, con el que se han evaluado las integrales definidas, es necesario que f sea continua en [a, b]. Sin embargo, en muchas aplicaciones de física y economía entre otras es factible encontrar que a o b o ambos extremos tiendan a ∞ o -∞. Las integrales que no cumplan la condición de estar acotadas en sus extremos ya sea porque uno o ambos límites sean infinitos o bien porque existe alguna discontinuidad infinita en el intervalo [a, b], son integrales impropias.

El concepto de discontinuidad infinita en un punto por la izquierda o la derecha, se da a partir del cálculo del límite de la función en ese punto y obteniendo alguno de los siguientes resultados:

Suponga el siguiente ejemplo:

Ejemplo: Calcular el área de la región A por debajo de la curva y, por encima del eje X y a la derecha de la recta x = 1. 

Solución: Se calculará la integral

Como vemos se trata de una integral impropia, ya que su intervalo de integración es infinito hacia la derecha. Para calcular este tipo de integrales impropias, haremos la siguiente interpretación.

Definición: Si f es continua en el intervalo [a, ∞[ entonces

En este caso la integral impropia converge si el límite existe, de lo contrario la integral diverge.

Luego:

En el ejemplo uno de los puntos extremos tiende a infinito, por lo tanto, es una integral impropia y considerando la definición anterior, tenemos que:

Calculamos la integral:

Dado que el área es 1, la integral es convergente.

Ejemplo: Calcular el área de la región A por debajo de la curva y, por encima del eje X y a la izquierda de la recta x = 3.

Solución: Se calculará la integral

Como vemos se trata de una integral impropia, ya que su intervalo de integración es infinito hacia la izquierda. Para calcular este tipo de integrales impropias, haremos la siguiente interpretación.

Definición: Si f es continua en el intervalo ]-∞,b] entonces

En este caso la integral impropia converge si el límite existe, de lo contrario la integral diverge.

Luego:

En el ejemplo uno de los puntos extremos tiende a infinito, por lo tanto, es una integral impropia y considerando la definición anterior, tenemos que:

Calculamos la integral:

Dado que el área es 1/2, la integral es convergente.

Ejemplo: Evalúe la siguiente integral para establecer si diverge o converge

Solución: Se calculará la integral

Como vemos se trata de una integral impropia, ya que ambos límites son infinitos. Para calcular este tipo de integrales impropias, utilizaremos la siguiente definición.

Definición: Si f es continua en el intervalo ]-∞,∞[ entonces

En este caso, la integral impropia de la izquierda diverge cuando alguna de las integrales impropias de la derecha diverge.

Considerando la definición anterior, tenemos que:

Si observamos la gráfica de la función, la curva es simétrica con relación al eje Y

Por simetría de la expresión a integrar, tenemos que:

La integral dada converge a π

Integrales impropias con discontinuidades infinitas

El segundo tipo de integral impropia es el que tiene una discontinuidad infinita en o entre los límites de integración.

Definición:

a) Si f es continua en [a, b[ y tiene una discontinuidad infinita en b entonces

b) Si f es continua en ]a, b] y tiene una discontinuidad infinita en a entonces

c) Si f es continua en ]a, b], excepto en c en ]a, b[ donde f es discontinuo infinito, entonces

En los casos (a) y (b), la integral impropia converge cuando el límite existe, caso contrario, la integral impropia diverge. En el caso (c), la integral impropia de la izquierda diverge cuando alguna de las integrales impropias de la derecha diverge.

Ejemplo: Evaluar la siguiente integral y determine si la integral es convergente o divergente.

Solución:

La integral impropia es convergente.

Ejemplo: Evaluar la siguiente integral y determinar si la integral es convergente o divergente.

Solución:

Ejemplo: Evaluar la siguiente integral y determinar si la integral es convergente o divergente.

Solución:

Aplicaciones de la integral impropia

La teoría de atracción gravitacional de Isaac Newton, nos dice que la fuerza con la que un cuerpo es atraído hacia la Tierra (su peso) es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del objeto al centro del planeta, así la fuerza F ejercida por la gravedad terrestre está dada por:

Donde F es la fuerza ejercida, k es la constante de proporcionalidad y d la distancia del centro del planeta al objeto.

Además, la Fuerza F que percibe una masa puntual m situada en un lugar donde existe un campo gravitatorio g, está dada por la fórmula:

Finalmente, si la fuerza que actúa sobre el objeto no es constante el trabajo está dado por:

Siendo a y b los puntos extremos desde el centro del planeta hasta la ubicación del objeto.

Ahora un ejemplo: 

Luego

De física sabemos, que el diferencial en el trabajo equivale al producto de la fuerza requerida por el incremento en la distancia, que se expresa así:

∆W = (fuerza) · (incremento en la distancia) = F · ∆d

Para este ejemplo:

Para propulsar el módulo desde el centro de la Tierra x₀ = 6 371 000m (radio terrestre) hasta x = 6 721 000m(sumamos la altura de ubicación), el trabajo total realizado corresponde a:

En el ejemplo anterior hemos determinado el trabajo para colocar un módulo a cierta altura sobre la superficie terrestre, pero cuál sería el trabajo requerido si queremos colocar una sonda espacial con las mismas magnitudes del ejemplo anterior a una distancia infinita de la Tierra. Una respuesta rápida nos diría que requerimos de una cantidad infinita de trabajo, lo cual no es cierto ya que actualmente se han enviado sondas al infinito.  Así que, para determinar ese trabajo para una sonda con las mismas magnitudes de Tianhe simplemente debemos sustituir el límite superior de la integral definida por ∞, con lo que tenemos: