Optimización
Un problema de optimización consiste en maximizar o minimizar el valor de una variable. En otras palabras, se trata de calcular o determinar el valor mínimo o el valor máximo de una función de una variable.
La variable a minimizar o maximizar debe ser expresada como función de otra de las variables relacionadas en el problema.
En ocasiones es preciso considerar las restricciones que se tengan en el problema, ya que éstas generan igualdades entre las variables que permiten la obtención de la función de una variable que se
quiere minimizar o maximizar.
En este tipo de problemas se debe contestar correctamente las siguientes preguntas:
¿Qué se busca en el problema?
¿Qué restricciones aparecen en el problema?
La respuesta correcta a la primera pregunta nos lleva a definir la función que deberá ser minimizada o maximizada.
La respuesta correcta a la segunda pregunta dará origen a (al menos) una ecuación que será auxiliar para lograr expresar a la función deseada precisamente como una función de una variable.
Estrategias para resolver problemas de optimización
1. Asignar una representación algebraica a todas las magnitudes a determinar.
2. Escribir una ecuación primaria que represente el problema de optimización.
3. Reducir la ecuación primaria a una ecuación con solo una variable independiente. Eso puede exigir el uso de las ecuaciones secundarias que relacionen las variables independientes de la ecuación primaria.
4. Determinar el dominio de la ecuación primaria. Esto es, hallar los valores para los que el problema planteado tiene sentido.
5. Determinar el valor máximo o mínimo mediante las técnicas dadas.
Ejemplos:
1. Halla dos números que sumados den 20 y cuyo producto sea máximo.
Solución:
2. Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en una circunferencia de radio 5 cm.
3. En una autopista de salida de una gran ciudad se ha cuantificado que en hora punta (entre 4 y 6 de la tarde) la velocidad de los automóviles viene dada por la fórmula:
Determine: ¿A qué hora circulan los coches con mayor velocidad y a qué hora circulan con menor velocidad?
Por lo tanto, a las 4 de la tarde se da un máximo de velocidad, mientras que a las 6 pm la velocidad es mínima.
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1. Una entidad financiera lanza un plan de inversión cuya rentabilidad en unidades monetarias viene dada por la siguiente expresión, donde x es la cantidad invertida.
a. Calcular la cantidad de dinero que maximiza la inversión en dicho plan
b. ¿Cuál es la renta producida por el valor anterior?
2. Halla dos números tales que el cuadrado de uno multiplicado por el otro sea máximo, sabiendo que la suma de dichos números es 40.
3. En un día determinado, el ritmo o tasa de flujo F (vehículos por hora) en una autopista congestionada es:
Donde F es el flujo vehicular y v la velocidad del tráfico en kilómetros por hora. ¿Qué velocidad maximizará la tasa de flujo en la autopista?
4. Determinar dos números pares positivos cuya suma sea igual a 12 y cuyo producto sea máximo.
5. Determinar un número entero positivo que sumado a su inverso multiplicativo da como resultado la suma mínima.
6. Un granjero planea cercar un terreno rectangular adyacente a un río. El terreno debe contener 245 000 m2 para proporcionar suficiente pastura para el hato. ¿Qué dimensiones requeriría la cantidad mínima de cercado si no es necesario cercar a lo largo del río?