El comportamiento de una función en un intervalo, nos muestra diversos valores, así como el comportamiento de esa función sobre ese intervalo que llamaremos I.

Podemos conocer, por ejemplo, cuál es el valor máximo de f en I, si tiene un valor mínimo, ¿cuál es? ¿Dónde crece la función? ¿Dónde decrece?, para ello iniciaremos dando una definición importante en ese intervalo I.

Definición

Sea una función f definida en un intervalo I que contiene el punto c. Podemos afirmar que

a)      f(c) es el mínimo de f en I, si f(c) ≤ f(x) para todo x en I

b)      f(c) es el máximo de f en I, si f(c) ≥ f(x) para todo x en I

Los máximos y mínimos de una función en un intervalo, son los extremos de la función en ese intervalo, y se denominan mínimo absoluto y máximo absoluto en I.

Geométricamente se presenta un máximo absoluto cuando dicho punto representa la mayor imagen de todas, o sea, no existe una representación gráfica por encima de ese punto.

De igual forma, un mínimo absoluto, está representado por la menor imagen de todas, no existe gráfica por debajo de ese punto.

Un punto se llama máximo relativo de f, si f(b) no es la mayor de todas las imágenes de f, pero existe en un intervalo abierto que contiene a b y f(b) es la mayor de todas las imágenes en ese intervalo.

Un punto se llama mínimo relativo de f, si f(b) no es la menor de todas las imágenes de f, pero existe en un intervalo abierto que contiene a b y f(b) es la menor de todas las imágenes en ese intervalo.

Teorema del valor extremo

Si ƒ es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces f tiene tanto un mínimo como un máximo en el intervalo.

Teorema de Rolle

Como hemos visto antes el teorema del valor extremo establece que una función continua en un intervalo I, debe tener tanto un valor mínimo como un valor máximo en dicho intervalo.  Esos valores pueden estar en sus valores extremos.

El teorema de Rolle garantiza la existencia de un valor extremo en el interior del intervalo cerrado.

Teorema de Rolle.  Sea f continua en el intervalo [a, b] y derivable en (a, b). Entonces si

Ejemplos:

Determinar las intersecciones en x de la función dada y mostrar que su derivada es cero en algún punto entre esas intersecciones.

Teorema del valor medio

Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en (a, b), entonces existe c en (a,b) tal que:

Ejemplo:

Encuentre los valores que satisfacen el teorema del valor medio para la función:

Verifica tu aprendizaje

1.      Determinar dos intersecciones con el eje X de la función f y mostrar que f’(x)=0 en algún punto entre las dos intersecciones.

2.      En los ejercicios siguientes determinar si el teorema del valor medio puede aplicarse a cada función en el intervalo dado. De ser así, encontrar los posibles valores de c.