Derivadas de funciones implícitas

Funciones explícitas e implícitas

Las funciones derivadas hasta ahora han sido las que se expresan de forma explícita, que son funciones para una variable en términos de otras.  Como es el caso del siguiente ejemplo:

En el caso anterior la variable y está escrita explícitamente como una función de x. No obstante encontraremos funciones que se encuentran definidas de forma implícita, o sea, alguna de sus variables no está despejada.

Así, por ejemplo:

En el ejemplo anterior vemos que despejando la función implícita, obtenemos fácilmente su derivada. Pero encontramos ciertas funciones en las que no es factible despejar o bien el procedimiento es muy complejo.

Así, por ejemplo:

Comprobamos despejando y haciendo explícita la función

Seguiremos entonces la siguiente estrategia, cuando se trate de derivación implícita.

1.      Derivamos todos los términos de la ecuación, respecto a x.

2.      Agrupamos los términos en que aparezca dy/dx en el lado izquierdo de la ecuación y transponemos los demás a la derecha.

3.      Factorizamos dy/dx en la izquierda.

4.      Despejar dy/dx, dividiendo la ecuación por su factor en el lado izquierdo.

Ejemplos: