En matemáticas, el término continuo tiene el mismo significado que el de uso cotidiano. Decir, de manera informal, que una función f es continua en x = c significa que no hay interrupción de la gráfica de f en c. Es decir, la gráfica es continua en c. En las siguientes figuras  se muestran tres condiciones para  x en los que la gráfica de f no es continua. En los demás puntos del intervalo (a, b), la gráfica de f no sufre interrupciones y es continua.

La continuidad en x = c, no existe en las gráficas anteriores en virtud de las condiciones que se enuncian a continuación:

1.      La función NO está definida para x = c.

2.      No existe el límite de f(x) en x = c.

3.      El límite de f(x) en x = c existe, pero no es igual a f(c).

Definimos entonces la continuidad en c de una función cualquiera.

Definición de continuidad

Una función f es continua en un punto c si se satisface:

Continuidad en un intervalo abierto: Una función es continua en un intervalo abierto (a, b) si es continua en cada punto del intervalo. Una función continua en la recta numérica de los números reales en el intervalo (-∞, +∞) es continua en todas partes.

Ejemplos:

Analizar la continuidad de cada una de las siguientes funciones en el conjunto de los números reales.

Solución:

La función está definida en el conjunto de los números reales distintos de cero. En x = 0, f tiene una discontinuidad inevitable.

Solución:

La función está definida en el conjunto de los números reales distintos de dos. En x = 2, g tiene una discontinuidad evitable.

Solución:

La función está definida en el conjunto de los números reales, h es continua en el intervalo (-∞, 2) y en el intervalo (2, +∞), y puesto que:

Límites laterales y continuidad

Límite lateral por la derecha

Sea f una función definida en todos los números del intervalo abierto (a, c). Entonces, el límite de f (x), cuando x se aproxima a a por la derecha es L, y se escribe:

Si para cualquier ℰ>0, sin importar cuan pequeña sea, existe un δ>0 tal que:

El límite lateral por la derecha de una función f significa que x se aproxima a c por valores mayores que c.

Límite lateral por la izquierda

El límite lateral por la izquierda, significa que x se aproxima a c por valores inferiores a c. En tal caso el límite se denota como:

Si para cualquier ℰ>0, sin importar cuan pequeña sea, existe un δ>0 tal que:

Límite bilateral

Ahora nos podemos referir al límite de una función como el límite no dirigido o límite bilateral, para distinguirlo de los límites laterales.

Teorema:

Si f es una función y c y L son números reales, el límite de f(x) cuando x se aproxima a c es L si y sólo si

El concepto de límite lateral permite extender la definición de continuidad a los intervalos cerrados. Básicamente, se dice que una función es continua en un intervalo cerrado si es continua en el interior del intervalo y posee continuidad lateral en los extremos. Esto se enuncia de manera formal como sigue.

Ejemplos:

Solución:

Definición de continuidad en un intervalo cerrado

Una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] si es continua en el intervalo abierto (a, b) y y se satisface que:

La función f es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b.

Ejemplos:

Analizar la continuidad de las siguientes funciones

Solución:

El dominio de la función es el intervalo cerrado [-1, 1]. La función es continua en todos los puntos del intervalo (-1, 1), además si tenemos que:

Por tanto, tenemos que:

f(x) es continua en el intervalo (-1, 1)  y además es continua en  x = -1⁺   y en   x = 1 ^- ,por lo que se puede concluir que la función es continua en el intervalo cerrado   [-1, 1] .

Analizar la continuidad en el intervalo [0 , 4] de la siguiente función:

Las funciones que definen a   f   son funciones polinómicas, por lo que son continuas en todo R , en particular, lo son en   (0 , 1)   y   (1 , 4)   respectivamente.

Por tanto, la función f es continua en los intervalos: (0 , 1) ∪ (1 , 4)

Estudiamos la continuidad en el punto de unión: x = 1

Como los límites laterales coinciden, el límite cuando   x → 1   existe y es 5, por lo tanto se cumple la condición de continuidad en un punto.

Luego la función es continua también en  1,  y por tanto, es continua en todo el intervalo (0 , 4), por lo que se puede concluir que la función es continua en el intervalo cerrado   [-0, 4].

Teorema del valor intermedio

Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y f(a) ≠ f(b) y k es cualquier número entero entre f(a) y f(b), entonces existe al menos un número c en [a, b] tal que f(c) = k.

El teorema del valor intermedio es muy útil cuando requerimos buscar los ceros de una función continua en un intervalo cerrado. Así, si f es continua en [a, b] y f(a) y f(b) tienen signo distinto, entonces el teorema nos garantiza la existencia de por lo menos un cero de f en el intervalo cerrado [a, b].

Ejemplo:

Utilizando el teorema del valor intermedio, mostrar que existe una raíz de la ecuación de la función dada y en el intervalo dado.

Solución

Vamos a buscar un valor c que esté entre 0 y 1, tal que ese valor c es un cero de la ecuación.

Verifica tu aprendizaje

Encuentre el límite indicado, si existe en los ejercicios del 1 al 7.

En los ejercicios 8 al 11 analice la continuidad de la función en el intervalo indicado