Regla de Cramer
Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas n=m y el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. Es decir, un sistema de Cramer es, por definición, compatible determinado y, por tanto, tiene siempre una solución única.
El valor de cada incógnita xi se obtiene de un cociente cuyo denominador es el determinante de la matriz de coeficientes, y cuyo numerador es el determinante que se obtiene al cambiar la columna i del determinante anterior por la columna de los términos independientes.
La regla de Cramer proporciona la solución de sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados (con una única solución) mediante el cálculo de determinantes. Se trata de un método muy rápido para resolver sistemas, sobre todo, para sistemas de dimensión 2x2 y 3x3.
Recordad que un sistema de ecuaciones puede escribirse en forma matricial como
AX=B
Donde
A es la matriz de coeficientes del sistema,
X es la matriz con las incógnitas,
B es la matriz con los términos independientes de las ecuaciones.
Para poder aplicar Cramer, la matriz A tiene que ser cuadrada y regular (determinante distinto de 0).
La regla de Cramer establece que la incógnita xk de la solución del sistema, cuyos coeficientes están en la columna k de A, es
Donde Ak es como la matriz A pero cambiando su columna número k por la columna de términos independientes B.
Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones según la regla de Cramer son los siguientes:
1. Hallar la matriz ampliada (A|b) asociada al sistema de ecuaciones, esto es: que la primera columna esté formada por las entradas de los coeficientes de la primera incógnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen las de la segunda incógnita, y así hasta llegar a la última columna, que estará constituida por las entradas de los términos independientes de las ecuaciones.
2. Calcular el determinante de A.
3. Aplicar la regla de Cramer, que consiste en:
a) ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los términos independientes;
b) dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incógnita;
c) continuar sustituyendo los términos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incógnitas.
Ejemplo:
Resolver el siguiente sistema compatible determinado
