Rango de una matriz
Antes de definir el rango de una matriz, vamos a dar una serie de definiciones relacionadas con los vectores.
Definición: Dado un conjunto de vectores
diremos que dichos vectores son linealmente dependientes cuando alguno de ellos se pueda expresar en función de los otros, o también, cuando alguno de ellos sea combinación lineal de los otros o, equivalentemente, si existen
Definición: Diremos que un conjunto de vectores son linealmente independientes, cuando ninguno de ellos se pueda expresar en función de los otros, o también, cuando ninguno de ellos sea combinación lineal de los otros o, equivalentemente, si la única forma de conseguir que:
Puede comprobarse que ninguno es combinación de los otros dos y
para ella podemos verlo intentando escribir el vector v3 en función de los otros dos.
Deberíamos encontrar entonces dos valores x, y tales que:
Esto nos lleva a resolver el sistema:
de las ecuaciones primera y tercera obtenemos x = 1, y = 2, pero esas soluciones no son
válidas para la segunda ecuación, por lo que el sistema no tiene solución y por tanto v3 no se puede expresar en función de v1 y de v2 .
(Nota: Habría que comprobar todos los casos posibles pero sólo hemos hecho un ejemplo)
Una vez hechas las consideraciones oportunas anteriores referentes a vectores linealmente dependientes e independientes, repasemos los conceptos de vector fila y vector columna con los que iniciamos el tema:
Podemos interpretar cada una de sus filas como un vector, y de esa forma la matriz A tendría m vectores de n coordenadas y si denotamos la fila i mediante la expresión Ai, tendríamos:
Llamamos vectores fila de una matriz a cada una de las filas de dicha matriz, pero interpretadas como vectores (Si la matriz es de orden mxn obtendremos m vectores fila de n componentes).
Si denotamos cada columna de A mediante la expresión Aj (la columna j) tendríamos
Llamamos vectores columna de una matriz a cada una de las columnas de dicha matriz, pero interpretadas como vectores (Si la matriz es de orden mxn obtendremos n vectores columnas de m componentes).
Esto nos permite también hacer el razonamiento inverso, es decir, dada una serie de vectores podemos ponerlos en forma de matriz:
Nota: Obsérvese que B es la matriz traspuesta de A. Esto es muy importante a la hora de entender el concepto de rango que daremos más adelante.
Una vez recordadas las definiciones anteriores podemos estamos en condiciones de dar la definición de rango de una matriz.
DEFINICIÓN: Se define Rango de la matriz A, y se denota K(A) o Rg A, al número de filas o columnas de A linealmente independientes.
Por tanto, estudiar el rango de la matriz A se reduce a estudiar cuántos vectores linealmente independientes hay en el sistema:
Rg(A) = 3 pues observamos que cada una de sus columnas es un vector independiente (de
hecho, son los vectores de la base canónica de R3 ),
C1 = e1=( 1 0 0 )
C2 = e2=( 0 1 0 ) luego son independientes
C3 = e3=( 0 0 1 )
Rg(B) = 2 porque las columnas tercera y cuarta son combinación lineal de las dos
primeras, que son las únicas independientes:
C1= ( 1 0 )
C2= ( 0 1 )
C3= ( 2 1 ) C3= 2C1 + 1C2
C4= ( 3 2 ) C4= 3C1 + 2C2
A la hora de estudiar el rango de una matriz existe un teorema muy importante: es el teorema del rango.
TEOREMA: En una matriz cualquiera, el número de vectores columnas linealmente independientes es igual al número de vectores filas linealmente independientes.
Por tanto, a la hora de calcular el rango de una matriz lo podemos hacer por filas o por columnas.
Además, en una matriz cualquiera de orden mxn el rango máximo posible será el valor más pequeño entre m y n. (Máximo Rg(A) = Min (m,n)).
Máximo nº de filas independientes = 2.
Máximo nº de columnas independientes = 4
Luego, al tener que ser iguales, Rg(A) = 2 como mucho.
Operaciones en filas (o columnas) que dejan invariante el rango:
A la hora de calcular el rango de una matriz, podremos realizar determinadas operaciones con las filas y las columnas de forma que el rango no varía. Vamos a ver que operaciones son esas:
1.- Si en una matriz multiplicamos una fila (o columna) por un número distinto de 0, la matriz resultante tiene el mismo rango que la anterior.
2.- Si en una matriz a una fila (o columna) le sumamos otra fila (o columna), la matriz resultante tiene el mismo rango que la anterior.
3.- Si en una matriz a una fila (o columna) le sumamos una combinación lineal de las restantes, la matriz resultante tiene el mismo rango que la anterior.
4.- Si en una matriz eliminamos una fila (o columna) cuyos elementos sean todos 0, la matriz resultante tiene el mismo rango que la anterior.
5.- Si en una matriz eliminamos una fila (o columna) que sea igual o proporcional a otra, la matriz resultante tiene el mismo rango que la anterior.
6.- Si en una matriz intercambiamos dos filas (o columnas) entre sí, la matriz resultante tiene el mismo rango que la anterior.
Cálculo del rango
Método de gauss
El método de Gauss consiste en llegar, mediante las operaciones vistas anteriormente que dejan invariante el rango, a una matriz escalonada a partir de nuestra matriz original, Una vez hayamos obtenido una matriz escalonada (aij=0 cuando i>j), y después de haber eliminado las filas o columnas nulas y las iguales o proporcionales a otras, el rango será el menor número de filas o columnas que nos queden.
Aplicaciones del cálculo del rango
