Eliminación gaussiana
Este método se aplica para resolver sistemas lineales de la forma:
El método de eliminación Gaussiana (simple), consiste en escalonar la matriz aumentada del sistema, para obtener un sistema equivalente.
Se despejan las incógnitas comenzando con la última ecuación y hacia arriba. Por esta razón, muchas veces se dice que el método de eliminación gaussiana consiste en la eliminación hacia adelante y sustitución hacia atrás.
Pasos del algoritmo de Eliminación Gaussiana simple
I. Fase de Escalonamiento
1. Determine la primera columna (a la izquierda) no cero.
2. Si el primer elemento de la columna es cero, intercambie el renglón por un renglón inferior que no tenga cero en esa posición.
3. Por eliminación, obtenga ceros abajo del elemento delantero (pivote) en los renglones debajo de el.
4. Cubra el renglón y la columna de trabajo y repita el proceso comenzando en el paso 1.
Ejemplos:
1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, por el método de eliminación gaussiana simple
Sustituyendo x3 en la segunda ecuación obtenemos que x2 = -18; sustituimos esos valores en la ecuación del primer renglón para encontrar el valor de x1 = 7.
Por lo tanto, la solución del sistema es:
2. Resolver usando eliminación gaussiana simple
El valor de x3 es 2. Sustituyendo x3 en la segunda ecuación obtenemos que x2 = 4; sustituimos esos valores en la ecuación del primer renglón para encontrar el valor de x1 = 4.
Por lo tanto, la solución del sistema es:
El método de eliminación Gaussiana (simple) puede presentar un problema cuando uno de los elementos que se usan para hacer ceros, es cero.
Por ejemplo, supóngase que en algún paso del proceso de hacer ceros tenemos la siguiente matriz:
Es claro que el elemento a22 = 0, no puede usarse para generar ceros. Este problema se resuelve mediante un intercambio de renglones, en este caso intercambiar el renglón 2 por el renglón 3. Con lo cual obtenemos la matriz escalonada.
