Cálculo de determinantes por adjuntos

El determinante de una matriz cuadrada de orden n es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea (fila o columna) cualquiera por sus adjuntos respectivos.

a) Calcular el valor del determinante:

Ahora multiplicamos el valor de cada elemento de la fila 1 (utilizada para obtener sus adjuntos) por su correspondiente adjunto y sumamos los resultados para calcular el valor del determinante.

Hemos calculado el valor de un determinante de grado 3 de otro modo al estudiado anteriormente.

De este modo podemos calcular determinantes de orden superior a 3.

Determinantes de orden 4

Vamos a calcular paso a paso el valor de un determinante de orden 4 por el procedimiento de adjunto o cofactor.

Escribimos los menores complementarios de cada elemento de la 1ª fila y los escribimos anteponiendo el adjunto de cada elemento como factor:

Pivote en la resolución de determinantes de orden superior a 3

Calcular el valor de un determinante de orden superior a 4 lo puedes hacer de distintas formas haciendo uso de las propiedades estudiadas.

Un modo sencillo de calcular el valor de un determinante es haciendo uso del PIVOTE.

Así para el determinante siguiente:

En este caso, se le llama PIVOTE al primer elemento igual a 1 que aparece en el determinante:

¿Por qué el 1? Porque el producto de un valor por 1 es muy simple de calcular.

Y ¿si no tenemos un 1? bastará hacer alguna operación de multiplicar o dividir a una línea (fila o columna) para que sumando con otra línea obtengamos el 1.

Lo que tenemos que conseguir es que en la fila del 1 elegido todos los demás valores de los elementos sean ceros. ¿Por qué? Porque sabemos que el resultado de un determinante lo hallamos al sumar los productos que obtenemos al multiplicar cada elemento de una línea por sus respectivos adjuntos y cuando los elementos son ceros el cálculo es muy sencillo.

Ejemplo:

Finalmente el determinante transformado es:

Calculamos la suma de los productos de cada elemento de la fila 1 por sus adjuntos:

El valor del determinante anterior se puede obtener por cualquiera de los métodos estudiados

Ejemplo:

Calcular el valor del determinante:

Utilizamos a11 como pivote y transformamos las columnas 2, 3 y 4