La serie de Fibonacci

Una sucesión es simplemente una lista de objetos ordenados: Un primer elemento, un segundo elemento, un tercer elemento, y así sucesivamente. Dicha lista puede finalizar después de n pasos, donde , o puede continuar indefinidamente. En el primer caso se dice que la sucesión es finita, y en el segundo caso, la sucesión es infinita. Los elementos pueden ser todos diferentes o algunos estarán repetidos.

 

Ejemplos:

a) 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1 es una sucesión finita

b) 3, 8, 13, 18, 23,… es una sucesión infinita

c) 1, 4, 9, 16, 25, … es otra sucesión infinita y corresponde a la lista de los cuadrados de los números naturales

 

Puede ocurrir que la secuencia de términos de una sucesión no quede claramente definida por los primeros términos que la conforman y también es útil conocer una forma corta de especificar una sucesión.

 

Existen dos clases de fórmulas para determinar una sucesión. En el ejemplo b) una descripción natural de la sucesión consiste en indicar que los términos consecutivos se forman sumando 5 al término anterior. Si empleamos un subíndice para indicar la posición de cada término de una sucesión, puede describirse dicha sucesión de la siguiente manera: a1 = 3, an = an-1 +5, 2 ≤ n < ∞

 

Una fórmula como la anterior, que se refiere al término anterior, para definir el siguiente término, se llama recursiva o recurrente. Toda fórmula recursiva debe tener un punto de partida.

 

La sucesión de Fibonacci es la sucesión de números que, empezando por la unidad, cada uno de sus términos es la suma de los dos anteriores (1,1,2,3,5,8,13,...). Tal como se ha tratado en diversos tópicos expuestos en esta web, la matemática tiene infinidad de coincidencias (si le puede llamar así) con la naturaleza misma. Como ejemplos y de manera reiterativa podemos citar la distribución de las hojas alrededor del tallo, la reproducción de los conejos o la disposición de las semillas en numerosas flores y frutos se produce siguiendo secuencias basadas exclusivamente en estos números.

Leonardo de Pisa (1170 - 1250), también conocido como Fibonacci, matemático italiano a quien debemos el sistema de numeración que emplea notación posicional (de base 10, o decimal) y un dígito de valor nulo (el cero) que usamos en la actualidad también ideó la sucesión de números que lleva su nombre, la llamada “sucesión de Fibonacci”.

 

Se trata como se memcionan al inicio de una sucesión muy simple, en la que cada término es la suma de los dos anteriores. La sucesión comienza por el número 1, y continua con 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584..., ya que 1 = 0+1; 2=1+1; 3= 1+2; 5=2+3; 8=3+5; 13=5+8=; 21=8+13... y así sucesivamente. Los números de Fibonacci se aproximan a la denominada “razón dorada”, “sección áurea” o “divina proporción”.

 

Algunos dicen que Leonardo encontró la serie estudiando el crecimiento de las poblaciones de conejos, y es muy posible que así sea. Imaginemos que una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, y a partir de ese momento cada vez engendra otra pareja de conejos, que a su vez (tras llegar a la edad de la fertilidad) engendrarán cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de meses? La respuesta es que cada mes habrá un numero de conejos que coincide con cada uno de los términos de la sucesión de Fibonacci.

 

El número de espirales que pueden verse en algunas variedades de flores y frutos también se ajusta a pares consecutivos de términos de esta sucesión. El ejemplo más citado es la flor del girasol, cuya gran mayoría posee 55 espirales en un sentido y 89 en el otro, o bien 89 y 144 respectivamente.

 

Las margaritas también cumplen esta secuencia, y acomodan sus semillas en forma de 21 y 34 espirales. Las piñas, prácticamente cualquier variedad que encuentres, también presentan un número de espirales que coincide con dos términos de la sucesión de los números de Fibonacci, por lo general 8 y 13 o 5 y 8.