La Media Aritmética
| Media Aritmética |
| La media aritmética, también llamada promedio o simplemente media es el valor característico de una serie de datos cuantitativos, objeto de estudio, se fundamenta en el concepto de la esperanza matemática o valor esperado, se obtiene de la suma de todos sus valores dividida entre el total de datos. |
Dados los n números:
\[{\displaystyle \{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}}\]
la media aritmética se define como:
\[{\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}}\]
Por ejemplo, la media aritmética de 8, 5 y -4 es igual a:
\[{\displaystyle {\bar {x}}={\frac {8+5+\left(-4\right)}{3}}=3}\]
Cálculo de la media para datos no agrupados
\[\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i};\; \: \mu =\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_{i}\]
Cuando calculamos la media de la población, dividimos por la cantidad de datos de la población N y cuando se calcula la media muestral entonces dividimos por n (tamaño de la muestra).
Ejemplo: El Departamento de Acción Social de una institución, ofrece un estímulo especial a aquellas agrupaciones en las que la edad promedio de los niños que asisten está por debajo de 9 años. Si los siguientes datos corresponden a las edades de los niños que acuden de manera regular al Centro ¿calificará éste para el estímulo?
8 5 9 10 9 12 7 12 13 7 8
\[\begin{align*} \overline{x} &=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\\ &= \frac{8+5+9+10+9+12+7+12+13+7+8}{11}\\ &=9,09 \end{align*}\]
En este caso no califica para el estimulo establecido.
Cálculo de la media para datos agrupados
Para calcular la media para datos agrupados, primero calculamos el punto medio de cada clase (marca de clase mi). Después multiplicamos cada punto medio por la frecuencia absoluta de cada intervalo.
Una manera de hacer los cálculos es utilizando la siguiente tabla:
|
EDAD |
mi |
f i |
mi .fi |
|
[50,60) |
55 |
10 |
550 |
|
[60, 70) |
65 |
18 |
1170 |
|
[70, 80) |
75 |
14 |
1050 |
|
[80, 90) |
85 |
6 |
510 |
|
[90,100) |
95 |
2 |
190 |
|
Totales |
|
50 |
3470 |
\[\begin{align*} \overline{x}&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}m_{i}\cdot f_{i}\\ &= \frac{3470}{50}\\ &=69,4 \end{align*}\]
VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA MEDIA
- Se trata de un concepto familiar e intuitivamente claro
- Cada conjunto de datos tiene una media y es única
- Es útil para llevar a cabo procedimientos estadísticos como la comparación de medias de varios conjuntos de datos. En estadística inferencial es la medida de tendencia central que tiene mejores propiedades
- Aunque la media es confiable en el sentido de que toma en cuenta todos los valores del conjunto de datos, puede verse afectada por valores extremos que no son representativos del resto de los datos. La media puede malinterpretarse si los datos no forman un conjunto homogéneo.
- No se puede calcular la media si la distribución de frecuencias tiene clases abiertas