Antiderivadas o primitivas

Supongamos que nos piden encontrar una función F, cuya derivada es f(x) = 4x³. De acuerdo a lo estudiado en el apartado de derivación, podemos afirmar que:

Sin embargo, si refinamos la justificación anterior nos damos cuenta que F es tan solo una antiderivada de f, en un intervalo I cualquiera, puesto que se cumple dicha solución para las siguientes funciones

Concluimos que las primitivas no son únicas. Así, si C es una constante, entonces F(x) = x + C es una primitiva de f (x) = 1 en cualquier intervalo. Siempre se sumará una constante a la primitiva F de una función f en un intervalo y obtener otra derivada de f.

El problema fundamental del cálculo integral depende de la operación inversa a la diferenciación, es decir:

La integral indefinida

La primitiva general de una función f(x) en un intervalo I es F(x) + C, siendo F(x) una primitiva general de f(x) en I y C una constante. Esta primitiva general se denomina integral indefinida de f(x) en I, y se denota:

Definición:

La integral indefinida de f(x) en un intervalo I es

Siempre que F’(x)=f(x) para todo x en I. La expresión anterior se lee como:

Ejemplos:

Significado geométrico de la constante de integración

Ya hemos visto que cada vez que se integra una diferencial, lo que estamos obteniendo es la familia de funciones de la forma f(x) + C, donde C es la constante de integración; que además es arbitraria.

Analizamos el siguiente ejemplo.

Determinar la solución general de la ecuación diferencial y’=3.

Solución:

Lo que buscamos en primer lugar es la función cuya derivada es 3, que es una función de la familia

y = 3x 3x es antiderivada de 3

Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial es

y = 3x + C

Las gráficas muestran algunas funciones de la familia que satisfacen la solución.